Решение 1:   Обозначим  f₁(x) = (x – b)(x – c) – (x – a),  f₂(x) = (x – c)(x – a) – (x – b)  и  f₃(x) = (x – a)(x – b) – (x – c).  Предположим, что две из этих функций – скажем, f₁ и f₂ – корней не имеют. Далее можно рассуждать по-разному.   Первый способ. По предположению  f₁(x) > 0  и  f₂(x) > 0  при всех x. Однако трёхчлен

f₁(x) + f₂(x) = (x – c)(x – b + x – a) – (x – a + x – b) = (2x – a – b)(x – c – 1)  имеет, например, корень  x₀ = c + 1.  Противоречие.   Второй способ. Дискриминанты трёхчленов f₁(x) и f₂(x) отрицательны, то есть  (b + c + 1)² < 4(bc + a)  и  (c + a + 1)² < 4(ca + b).  Эти неравенства переписываются в виде  (b – c – 1)² < 4(a – b)  и  (c – a + 1)² < 4(b – a).  Значит, оба числа в правых частях положительны, что невозможно.

Решение 2:   Пусть для определённости  a < b < c.  Рассмотрим графики функций  f_bc(x) = (x – b)(x – c)  и  f_a(x) = x – a.  При  x = a  точка первого графика выше точки второго:  f_bc(a) = (a – b)(a – c) > 0 = f_a(a),  а при  x = b  – ниже:  f_bc(b) = 0 < b – a = f_a(b).  Значит, уравнение  f_bc(x) = f_a(x)  имеет корень на отрезке  [a, b]  (рис. слева).

           

Ответ задачи отсутствует