Олимпиадные задачи по теме «Числовые последовательности» для 10 класса - сложность 3 с решениями
Числовые последовательности
НазадПоследовательность(<i>a<sub>n</sub></i>)задана условиями<i> a<sub>1</sub>= </i>1000000,<i> a<sub>n+</sub></i>1<i>=n</i>[<i><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111805/problem_111805_img_2.gif"></i>]<i>+n </i>. Докажите, что в ней можно выделить бесконечную подпоследовательность, являющуюся арифметической прогрессией.
По данному натуральному числу <i>a</i><sub>0</sub> строится последовательность {<i>a<sub>n</sub></i>} следующим образом <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110036/problem_110036_img_2.gif"> если <i>a<sub>n</sub></i> нечётно, и <sup><i>a</i><sub>0</sub></sup>/<sub>2</sub>, если <i>a<sub>n</sub></i> чётно. Докажите, что при любом нечётном <i>a</i><sub>0</sub> > 5 в последовательности {<i>a<sub>n</sub></i>} встретятся сколь угодно большие числа.
Последовательность натуральных чисел <i>a<sub>n</sub></i> строится следующим образом: <i>a</i><sub>0</sub> – некоторое натуральное число; <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = ⅕ <i>a<sub>n</sub></i>, если <i>a<sub>n</sub></i> делится на 5;
<i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = [<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109784/problem_109784_img_2.gif"> <i>a<sub>n</sub></i>], если <i>a<sub>n</sub></i> не делится на 5. Докажите, что начиная с некоторого члена последовательность <i>a<sub>n</sub></i> возрастает.
Найдите все бесконечные ограниченные последовательности натуральных чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ..., для всех членов которых, начиная с третьего, выполнено <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109692/problem_109692_img_2.gif"></div>
<i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ... – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что <i>a<sub>a<sub>k</sub></sub></i> = 3<i>k</i> для любого <i>k</i>.
Найти а) <i>a</i><sub>100</sub>; б) <i>a</i><sub>1983</sub>.
Доказать, что последовательность<i>x</i><sub>n</sub>= sin(<i>n</i><sup>2</sup>) не стремится к нулю при<i>n</i>, стремящемся к бесконечности.
При каком значении<i>K</i>величина<i>A</i><sub>k</sub>=${\dfrac{19^k+66^k}{k!}}$максимальна?
Что больше: 300! или 100<sup>300</sup>?
Дан треугольник <i>C</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>2</sub><i>O</i>. В нём проводится биссектриса <i>C</i><sub>2</sub><i>C</i><sub>3</sub>, затем в треугольнике <i>C</i><sub>2</sub><i>C</i><sub>3</sub><i>O</i> – биссектриса <i>C</i><sub>3</sub><i>C</i><sub>4</sub> и так далее.
Докажите, что последовательность величин углов γ<i><sub>n</sub> = C</i><sub><i>n</i>+1</sub><i>C<sub>n</sub>O</i> стремится к пределу, и найдите этот предел, если <i>C</i><sub>1</sub><i>OC</i><...
Хозяин обещает работнику платить в среднем <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73680/problem_73680_img_2.gif"> рублей в день. Для этого каждый день он платит 1 или 2 рубля с таким расчётом, чтобы для любого натурального <i>n</i> выплаченная за первые <i>n</i> дней сумма была натуральным числом, наиболее близким к <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73680/problem_73680_img_3.gif"> Вот величины первых пяти выплат: 1, 2, 1, 2, 1. Докажите, что последовательность выплат непериодическая.
Дана строго возрастающая функция $f\colon \mathbb{N}_0\to \mathbb{N}_0$ (где $\mathbb{N}_0$ — множество целых неотрицательных чисел), которая удовлетворяет соотношению $f(n+f(m))=f(n)+m+1$ для любых $m,n\in \mathbb{N}_0$. Найдите все значения, которые может принимать $f(2023)$.
Дана возрастающая последовательность положительных чисел $...< a_{-2} < a_{-1} < a_{0} < a_{1} < a_{2} < ...,$ бесконечная в обе стороны. Пусть $b_k$ – наименьшее целое число со свойством: отношение суммы любых $k$ подряд идущих членов данной последовательности к наибольшему из этих $k$ членов не превышает $b_k$. Докажите, что последовательность $b_{1}, b_{2}, b_{3}$, ... либо совпадает с натуральным рядом 1, 2, 3, ..., либо с некоторого момента постоянна.
На доске написаны $2n$ последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на сумму и разность чисел этой пары (не обязательно вычитать из большего числа меньшее; все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появятся $2n$ последовательных чисел.
На клавиатуре калькулятора есть цифры от 0 до 9 и знаки двух действий (см. рисунок). Вначале на дисплее написано число 0. Можно нажимать любые клавиши. Калькулятор выполняет действия в последовательности нажатий. Если знак действия нажать подряд несколько раз, то калькулятор запомнит только последнее нажатие. Рассеянный Учёный нажал очень много кнопок в случайной последовательности. Найдите приблизительно вероятность, с которой результат получившейся цепочки действий – нечётное число? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65336/problem_65336_img_2.png"></div>
Илья Муромец встречает трёхголового Змея Горыныча. И начинается битва. Каждую минуту Илья отрубает Змею одну голову. С вероятностью ¼ на месте срубленной головы вырастает две новых, с вероятностью ⅓ – только одна новая голова и с вероятностью <sup>5</sup>/<sub>12</sub> – ни одной головы. Змей считается побеждённым, если у него не осталось ни одной головы. Найдите вероятность того, что рано или поздно Илья победит Змея.
На шкуре у Носорога складки – вертикальные и горизонтальные. Если у Носорога на левом боку <i>a</i> вертикальных, <i>b</i> горизонтальных складок, а на правом – <i>c</i> вертикальных и <i>d</i> горизонтальных, будем говорить, что это Носорог в состоянии (<i>abcd</i>) или просто Носорог (<i>abcd</i>).
Если Носорог чешется каким-то боком о баобаб вверх-вниз, и у Носорога на этом боку есть две горизонтальные складки, то эти две горизонтальные складки разглаживаются. Если двух таких складок нет, то ничего не происходит.
Аналогично если Носорог чешется боком вперед-назад, и на этом боку есть две вертикальные складки, то они разглаживаются, если же таких двух складок не найдётся, то ничего не происходит.
Е...
Муха двигается из начала координат только вправо или вверх по линиям целочисленной сетки (монотонное блуждание). В каждом узле сетки муха случайным образом выбирает направление дальнейшего движения: вверх или вправо.
а) Докажите, что рано или поздно муха достигнет точки с абсциссой 2011.
б) Найдите математическое ожидание ординаты Мухи в момент, когда муха достигла абсциссы 2011.
По случаю начала зимних каникул все мальчики из 8 "В" пошли в тир. Известно, что в 8 "В" <i>n</i> мальчиков. В тире, куда пришли ребята, <i>n</i> мишеней. Каждый из мальчиков случайным образом выбирает себе мишень, при этом некоторые ребята могли выбрать одну и ту же мишень. После этого все одновременно делают залп по своим мишеням. Известно, что каждый из мальчиков попал в свою мишень. Мишень считается поражённой, если в нее попал хоть один мальчик.
а) Найти среднее количество поражённых мишеней.
б) Может ли среднее количество поражённых мишеней быть меньше <sup><i>n</i></sup>/<sub>2</sub>?
Петя хочет выписать все возможные последовательности из 100 натуральных чисел, в каждой из которых хотя бы раз встречается тройка, а любые два соседних члена различаются не больше, чем на 1. Сколько последовательностей ему придётся выписать?
Пусть(1 +$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$)<sup>n</sup>=<i>p</i><sub>n</sub>+<i>q</i><sub>n</sub>$\sqrt{2}$+<i>r</i><sub>n</sub>$\sqrt{3}$+<i>s</i><sub>n</sub>$\sqrt{6}$(<i>n</i>$\geqslant$0). Найдите: а) $\lim\limits_{n\to \infty}^{}$${\dfrac{p_n}{q_n}}$; б) $\lim\limits_{n\to \infty}^{}$${\dfrac{p_n}{r_n}}$; в) $\lim\limits_{n\to \infty}^{}$${\dfrac{p_n}{s_n}}$.
Докажите неравенства:
а) <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61394/problem_61394_img_2.gif"> б) <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61394/problem_61394_img_3.gif"> при <i>n</i> > 1; в) <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61394/problem_61394_img_4.gif"> при <i>n</i> > 6.
Последовательность чисел<i>x</i><sub>0</sub>,<i>x</i><sub>1</sub>,<i>x</i><sub>2</sub>,...задается условиями<div align="CENTER"> <i>x</i><sub>0</sub> = 1, <i>x</i><sub>n + 1</sub> = <i>a</i><sup>x<sub>n</sub></sup> (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 0). </div>Найдите наибольшее число<i>a</i>, для которого эта последовательность имеет предел. Чему равен этот предел для такого<i>a</i>?
Пусть<i>p</i>и<i>q</i> — отличные от нуля действительные числа и<i>p</i><sup>2</sup>- 4<i>q</i>> 0. Докажите, что следующие последовательности сходятся: а)<i>y</i><sub>0</sub>= 0, <i>y</i><sub>n + 1</sub>=${\dfrac{q}{p-y_n}}$ (<i>n</i>$\geqslant$0); б)<i>z</i><sub>0</sub>= 0, <i>z</i><sub>n + 1</sub>=<i>p</i>-${\dfrac{q}{z_n}}$ (<i>n</i>$\geqslant$0). Установите связь между предельными значениями этих последовательностей<i>y</i>,<i>z</i><sup></sup>и корнями уравнения<i>x</i><sup>2</sup>-<i>px</i>+<i>...
<b>Метод Ньютона.</b>Для приближенного нахождения корней уравнения<i>f</i>(<i>x</i>) = 0 Ньютон предложил искать последовательные приближения по формуле<div align="CENTER"> <i>x</i><sub>n + 1</sub> = <i>x</i><sub>n</sub> - <img width="52" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61328/problem_61328_img_2.gif" alt="$\displaystyle {\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}}$">, </div>(начальное условие<i>x</i><sub>0</sub>следует выбирать поближе к искомому корню). Докажите, что для функции<i>f</i>(<i>x</i>) =<i>x</i><sup>2</sup>-<i>k&l...
Последовательность чисел {<i>x</i><sub>n</sub>} задана условиями:<div align="CENTER"> <i>x</i><sub>1</sub> $\displaystyle \geqslant$ - <i>a</i>, <i>x</i><sub>n + 1</sub> = $\displaystyle \sqrt{a+x_n}$. </div>Докажите, что последовательность {<i>x</i><sub>n</sub>} монотонна и ограничена. Найдите ее предел.