Олимпиадные задачи по теме «Геометрия» для 10 класса - сложность 1 с решениями
Можно ли расположить на плоскости три вектора так, чтобы модуль суммы каждых двух из них был равен 1, а сумма всех трёх была равна нулевому вектору?
В трапеции <i>ABCD</i> (<i>AD || BC</i>) из точки <i>Е</i> – середины <i>CD</i> провели перпендикуляр <i>EF</i> к прямой <i>AB</i>. Найдите площадь трапеции, если <i>АВ</i> = 5, <i>EF</i> = 4.
Можно ли начертить два треугольника так, чтобы образовался девятиугольник?
В треугольнике <i>АВС</i> проведена биссектриса <i>BD</i>. Докажите, что <i>АВ</i> > <i>AD</i>.
В пространстве заданы три луча: <i>DA</i>, <i>DB</i> и <i>DC</i>, имеющие общее начало <i>D</i>, причём ∠<i>ADB</i> = ∠<i>ADC</i> = ∠<i>BDC</i> = 90°. Сфера пересекает луч <i>DA</i> в точках <i>A</i><sub>1</sub> и <i>A</i><sub>2</sub>, луч <i>DB</i> – в точках <i>B</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>2</sub>, луч <i>DC</i> – в точках <i>C</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>2</sub>. Найдите площадь треугольника <i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub><i>C</i><sub>2</s...
Три сферы попарно касаются внешним образом, а также касаются некоторой плоскости в вершинах прямоугольного треугольника с катетом 1 и противолежащим углом 30°. Найдите радиусы сфер.
Про углы треугольника <i>ABC</i> известно, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116493/problem_116493_img_2.gif"> и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116493/problem_116493_img_3.gif"> . Найдите величину угла <i>C</i>.
Окружность проходит через вершины <i>В</i> и <i>D</i> параллелограмма <i>АВСD</i> и пересекает его стороны <i>АВ, ВС, СD</i> и <i>DA</i> в точках <i>M, N, P</i> и <i>K</i> соответственно. Докажите, что <i>MK || NP</i>.
Какое наименьшее значение может принимать периметр неравнобедренного треугольника с целыми длинами сторон?
Внутри параллелограмма <i>ABCD</i> выбрана произвольная точка <i>Р</i> и проведены отрезки <i>РА</i>, <i>РВ</i>, <i>РС</i> и <i>PD</i>. Площади трёх из образовавшихся треугольников равны 1, 2 и 3 (в каком-то порядке). Какие значения может принимать площадь четвёртого треугольника?
Точки <i>M</i> и <i>N</i> расположены на стороне <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i>, а точки <i>K</i> и <i>L</i> – на стороне <i>AB</i>, причём <i>AM</i> : <i>MN</i> : <i>NC</i> = 1 : 3 : 1 и <i><span lang="EN">AK = KL = LB</span></i>. Известно, что площадь треугольника <i>ABC</i> равна 1. Найдите площадь четырёхугольника <i>KLNM</i>.
Точки <i>M</i> и <i>N</i> расположены на стороне <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i>, а точка <i>K</i> – на стороне <i>AC</i>, причём <i>BM</i> : <i>MN</i> : <i>NC</i> = 1 : 1 : 2 и <i>CK</i> : <i>AK</i> = 1 : 4. Известно, что площадь треугольника <i>ABC</i> равна 1. Найдите площадь четырёхугольника <i>AMNK</i>.
Две вершины квадрата расположены на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, а две другие – на катетах.
Найдите сторону квадрата, если гипотенуза равна <i>a</i>.
Дан произвольный треугольник <i>ABC</i>. Постройте прямую, разбивающую его на два многоугольника, у которых равны радиусы описанных окружностей.
Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Прямая, параллельная <i>BC</i>, пересекает стороны <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>M</i> и <i>P</i> соответственно. При каком расположении точек <i>M</i> и <i>P</i> радиус окружности, описанной около треугольника <i>BMP</i>, будет наименьшим?
Kаждый из двух подобных треугольников разрезали на два треугольника так, что одна из получившихся частей одного треугольника подобна одной из частей другого треугольника. Bерно ли, что оставшиеся части также подобны?
Существуют ли два таких четырехугольника, что стороны первого меньше соответствующих сторон второго, а соответствующие диагонали больше?
В трапеции <i>ABCD</i> биссектриса тупого угла <i>B</i> пересекает основание <i>AD</i> в точке <i>K</i> – его середине, <i>M</i> – середина <i>BC, AB = BC</i>.
Найдите отношение <i>KM</i> : <i>BD</i>.
В равнобокой трапеции <i>AВСD</i> основания <i>AD</i> и <i>ВС</i> равны 12 и 6 соответственно, а высота равна 4. Сравните углы <i>ВАС</i> и <i>САD</i>.
Еще Архимед знал, что шар занимает ровно<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115708/problem_115708_img_2.gif"> </i>объема цилиндра, в который он вписан (шар касается стенок, дна и крышки цилиндра). В цилиндрической упаковке находятся 5 стоящих друг на друге шаров. Найдите отношение пустого места к занятому в этой упаковке.
<center><i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115708/problem_115708_img_3.gif"> </i></center>
Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды с боковым ребром<i> b </i>и высотой<i> h </i>.
Найдите объём правильной треугольной пирамиды с боковым ребром<i> b </i>и высотой<i> h </i>.
Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды с высотой<i> h </i>и углом<i> β </i>боковой грани с плоскостью основания.
Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды с боковым ребром<i> b </i>и углом<i> β </i>боковой грани с плоскостью основания.
Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и углом<i> β </i>боковой грани с плоскостью основания.