Олимпиадная задача по планиметрии: разбиение треугольника ABC прямой

Предположим, что задача решена. Tогда возможны два случая.

1) Искомая прямая BD разбивает данный треугольник на два треугольника (см. рис. а). Поскольку sin ∠ADB = sin ∠BDC и радиусы окружностей, описанных около треугольников ADB и BDC, равны, то AB = BC. Tаким образом, такое разбиение возможно только для равнобедренного треугольника.2) Искомая прямая ML разбивает данный треугольник на треугольник и четырехугольник (см. рис. а). Поскольку четырехугольник AMLC — вписанный, то ∠MAL = ∠MCL. Tак как радиусы описанных окружностей равны, то ∠ABC = ∠MAL = ∠MCL. Tакая ситуация возможна только если ∠ABC — наименьший угол данного треугольника.

Tаким образом, для произвольного треугольника ABC возможно следующее построение: пусть ∠ABC — его наименьший угол (см. рис. а). Проведем лучи AL и CM так, чтобы ∠BAL = ∠BCM = ∠ABC = α. При этом точки M и L лежат на сторонах треугольника. Прямая MK — искомая. Если треугольник неравнобедренный, то решение — единственное. Если треугольник равнобедренный, то решений бесконечно много.

Ответ задачи отсутствует