Олимпиадные задачи по теме «Системы счисления» для 10-11 класса - сложность 4 с решениями

Саша написал по кругу в произвольном порядке не более ста различных натуральных чисел, а Дима пытается угадать их количество. Для этого Дима сообщает Саше в некотором порядке несколько номеров, а затем Саша сообщает Диме в том же порядке, какие числа стоят под указанными Димой номерами, если считать числа по часовой стрелке, начиная с одного и того же числа. Сможет ли Дима заведомо угадать количество написанных Сашей чисел, сообщив

  а) 17 номеров;

  б) менее 16 номеров?

Фокусник с помощником собираются показать такой фокус. Зритель пишет на доске последовательность из <i>N</i> цифр. Помощник фокусника закрывает две соседних цифры чёрным кружком. Затем входит фокусник. Его задача – отгадать обе закрытые цифры (и порядок, в котором они расположены). При каком наименьшем <i>N</i> фокусник может договориться с помощником так, чтобы фокус гарантированно удался?

Расстоянием между числами  <span style="text-decoration: overline;"><i>a</i>₁<i>a</i>₂<i>a</i>₃<i>a</i>₄<i>a</i>₅</span>  и  <span style="text-decoration: overline;"><i>b</i>₁<i>b</i>₂<i>b</i>₃<i>b</i>₄<i>b</i>₅</span>  назовём максимальное <i>i</i>, для которого  <i>a_i</i> ≠ <i>b_i</i>.  Все пятизначные числа выписаны друг...

Саша написал на доске ненулевую цифру и приписывает к ней справа по одной ненулевой цифре, пока не выпишет миллион цифр. Докажите, что на доске не более 100 раз был написан точный квадрат.

Сколькими способами числа 2⁰, 2¹, 2&sup2, ..., 2²⁰⁰⁵ можно разбить на два непустых множества <i>A</i> и <i>B</i> так, чтобы уравнение  <i>x</i>&sup2 – <i>S</i>(<i>A</i>)<i>x + S</i>(<i>B</i>) = 0,  где <i>S</i>(<i>M</i>) – сумма чисел множества <i>M</i>, имело целый корень?

Существует ли такое натуральное число  <i>n</i> > 10¹⁰⁰⁰,  не делящееся на 10, что в его десятичной записи можно переставить две различные ненулевые цифры так, чтобы множество его простых делителей не изменилось?

Даны многочлены  <i>f</i>(<i>x</i>) и <i>g</i>(<i>x</i>) с целыми неотрицательными коэффициентами, <i>m</i> – наибольший коэффициент многочлена  <i>f</i>. Известно, что для некоторых натуральных чисел  <i>a < b</i>  имеют место равенства  <i>f</i>(<i>a</i>) = <i>g</i>(<i>a</i>)  и  <i>f</i>(<i>b</i>) = <i>g</i>(<i>b</i>).  Докажите, что если  <i>b > m</i>,  то многочлены  <i>f</i> и <i>g</i> совпадают.

Дан ряд чисел<i> 1,1,2,3,5,8,13,21,34,..., </i>каждое из которых, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. Доказать, что каждое натуральное число<i> n>2 </i>равно сумме нескольких различных чисел указанного ряда.

Докажите, что для любого  <i>k</i> > 1  найдётся такая степень двойки, что среди <i>k</i> последних её цифр не менее половины составляют девятки.

(Например,  2¹² = ...96,  2⁵³ = ...992.)

Докажите, что первые цифры чисел вида 2^2ⁿ образуют непериодическую последовательность.

В королевстве 16 городов. Король хочет построить такую систему дорог, чтобы из каждого города можно было попасть в каждый, минуя не более одного промежуточного города, и чтобы из каждого города выходило не более пяти дорог.

  а) Докажите, что это возможно.

  б) Докажите, что если в формулировке заменить число 5 на число 4, то желание короля станет неосуществимым.

<i>N</i> друзей одновременно узнали <i>N</i> новостей, причём каждый узнал одну новость. Они стали звонить друг другу и обмениваться новостями.

Каждый разговор длится 1 час. За один разговор можно передать сколько угодно новостей.

Какое минимальное количество часов необходимо, чтобы все узнали все новости? Рассмотрите три случая:

  а)  <i>N</i> = 64,

  б)  <i>N</i> = 55,

  в)  <i>N</i> = 100.

Доказать, что сумма цифр числа<i>N</i>превосходит сумму цифр числа5^{5 .}<i>N</i>не более чем в 5 раз.

а) Доказать, что сумма цифр числа <i>K</i> не более чем в 8 раз превосходит сумму цифр числа 8<i>K</i>.

б) Для каких натуральных <i>k</i> существует такое положительное число <i>c_k</i>, что  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78791/problem_78791_img_2.gif"> ≥ <i>c_k</i>  для всех натуральных <i>N</i>? Найдите наибольшее подходящее значение <i>c_k</i>.

Рассматриваются всевозможные<i>n</i>-значные числа, составленные из цифр 1, 2 и 3. В конце каждого из этих чисел приписывается цифра 1, 2 или 3 так, что к двум числам, у которых во всех разрядах стоят разные цифры, приписываются разные цифры. Доказать, что найдется<i>n</i>-значное число, в записи которого участвует лишь одна единица и к которому приписывается единица.

Задано такое натуральное число <i>A</i>, что для любого натурального <i>N</i>, делящегося на <i>A</i>, число <img width="22" height="18" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/78626/problem_78626_img_2.gif"> тоже делится на <i>A</i>. (<img width="22" height="18" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/78626/problem_78626_img_2.gif"> – число, состоящее из тех же цифр, что и <i>N</i>, но записанных в обратном порядке; например,  <img width="36" height="19" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/78626/problem_78626_img_3.gif"&gt...

Докажите, что числа вида 2ⁿпри различных целых положительных<i>n</i>могут начинаться на любую наперёд заданную комбинацию цифр.

Дан ряд чисел: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ..., в котором каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. Найдётся ли среди первых  10⁸+ 1  членов этого ряда число, оканчивающееся четырьмя нулями?

Вычислите квадратный корень из числа 0,111...111<nobr>(100 единиц)</nobr>с точностью до<nobr>а) 100;</nobr><nobr>б) 101;</nobr><nobr>в)* 200</nobr>знаков после запятой.

Назовём натуральное число хорошим, если в его десятичной записи встречаются подряд цифры 1, 9,<nobr>7, 3,</nobr>и<nobr>плохим —</nobr>в противном случае. (Например, число<nobr>197 639 917 —</nobr>плохое, а<nobr>116 519 732 —</nobr>хорошее.) Докажите, что существует такое натуральное<nobr>число <i>n</i>,</nobr>что среди всех<i>n</i>-значных чисел<nobr>(от 10^{<i>n</i> – 1}</nobr>до<nobr>10^<i>n</i> – 1)</nobr>больше хороших, чем плохих.Постарайтесь найти возможно меньшее <nobr>такое <i>n</i>.</nobr>

С натуральным числом (записываемым в десятичной системе) разрешено проделывать следующие операции:А) приписать на конце <nobr>цифру 4;</nobr> Б) приписать на конце <nobr>цифру 0;</nobr> В) разделить на 2 (если число чётно). Например, если с числом 4 проделаем последовательно операции В, В, А <nobr>и Б,</nobr> то получим <nobr>число 140.</nobr> а) Из числа 4 получите <nobr>число 1972.</nobr> б)* Докажите, что из числа 4 можно получить любое натуральное число.

В три сосуда налито по целому числу литров воды. В любой сосуд разрешено перелить столько воды, сколько в нём уже содержится, из любого другого сосуда. Докажите, что несколькими такими переливаниями можно освободить один из сосудов. (Сосуды достаточно велики: каждый может вместить всю воду.)

Назовём тройку чисел<i>триплетом</i>, если одно из них равно среднему арифметическому двух других. Последовательность $(a_n)$ строится следующим образом: $a_0 = 0$, $a_1 = 1$ и при $n > 1$ число $a_n$ — такое минимальное натуральное число, большее $a_{n-1}$, что среди чисел $a_0$, $a_1$, ..., $a_n$ нет трёх, образующих триплет. Докажите, что $a_{2023} \leqslant 100,000$.

Король решил поощрить группу из $n$ мудрецов. Их поставят в ряд друг за другом (чтобы все смотрели в одном направлении), на каждого наденут чёрную или белую шляпу. Каждый будет видеть шляпы всех впереди стоящих. Мудрецы по очереди (от последнего к первому) назовут цвет (белый или чёрный) и натуральное число по своему выбору. В конце подсчитывается число мудрецов, которые назвали цвет, совпадающий с цветом своей шляпы: ровно столько дней всей группе будут платить надбавку к жалованью. Мудрецам разрешили договориться заранее, как отвечать. При этом мудрецы знают, что ровно $k$ из них безумны (кто именно – им неизвестно). Безумный мудрец называет белый или чёрный цвет и число вне зависимости от договорённостей. Какое максимальное число дней с надбавкой к жалованью могут гарантировать группе м...

Дано иррациональное число α,  0 < α < ½.  По нему определяется новое число α₁ как меньшее из двух чисел 2α и  1 – 2α.  По этому числу аналогично определяется α₂, и так далее.

  а) Докажите, что  α_<i>n</i> < ³/₁₆  для некоторого <i>n</i> .

  б) Может ли случиться, что  α_<i>n</i> > ⁷/₄₀  при всех натуральных <i>n</i>?