Олимпиадная задача по теории чисел: перестановка цифр и простые делители для 9–11 классов
Задача
Существует ли такое натуральное число n > 101000, не делящееся на 10, что в его десятичной записи можно переставить две различные ненулевые цифры так, чтобы множество его простых делителей не изменилось?
Решение
Приведём пример такого числа. Пусть n = 13·1...1 = 14...43, количество единиц мы подберём позже. Если переставить единицу и тройку, то получится число 34...41 = 31·1...1.
При этом, если наше число из одних единиц делится на 13·31 = 403, то простыми делителями обоих чисел будут в точности его простые делители. Существование такого числа доказано в задаче 160739.
Ответ
Существует.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет