Известно, что числа <i>а, b, c</i> и <i>d</i> – целые и  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116922/problem_116922_img_2.gif">.  Может ли выполняться равенство  <i>аbcd</i> = 2012?

Найдите все такие числа <i>a</i>, что для любого натурального <i>n</i> число  <i>an</i>(<i>n</i> + 2)(<i>n</i> + 4)  будет целым.

Известно, что <i>x, y</i> и <i>z</i> – целые числа и  <i>xy + yz + zx</i> = 1.  Докажите, что число  (1 + <i>x</i>²)(1 + <i>y</i>²)(1 + <i>z</i>²)  является квадратом натурального числа.

Для некоторых чисел <i>а, b, c</i> и <i>d</i>, отличных от нуля, выполняется равенство:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116531/problem_116531_img_2.gif"> .   Найдите знак числа <i>ас</i>.

Решите уравнение:   (<i>x</i> + 2010)(<i>x</i> + 2011)(<i>x</i> + 2012) = (<i>x</i> + 2011)(<i>x</i> + 2012)(<i>x</i> + 2013).

Прямоугольник разделён двумя вертикальными и двумя горизонтальными отрезками на девять прямоугольных частей. Площади некоторых из получившихся частей указаны на рисунке. Найдите площадь верхней правой части. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116469/problem_116469_img_2.gif"></div>

Известно, что  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116457/problem_116457_img_2.gif"> .   Найдите значение выражения   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116457/problem_116457_img_3.gif">.

Найдите значение выражения   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116454/problem_116454_img_2.gif"> ,   если  <i>а</i> = <img align="middle" src="/storage/problem-media/116454/problem_116454_img_3.gif">,   <i>b</i> = <img align="middle" src="/storage/problem-media/116454/problem_116454_img_4.gif">.

Известно, что выражения  4<i>k</i> + 5  и  9<i>k</i> + 4  при некоторых натуральных значениях <i>k</i> одновременно являются точными квадратами. Какие значения может принимать выражение  7<i>k</i> + 4  при тех же значениях <i>k</i>?

Какие значения может принимать выражение  (<i>x – y</i>)(<i>y – z</i>)(<i>z – x</i>),  если известно, что  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116451/problem_116451_img_2.gif"> ?

На бумажке записаны 1 и некоторое нецелое число <i>x</i>. За один ход разрешается записать на бумажку сумму или разность каких-нибудь двух уже записанных чисел или записать число, обратное к какому-нибудь из уже записанных чисел. Можно ли за несколько ходов получить на бумажке

число <i>x</i>²?

На бумажке записаны три положительных числа <i>x, y</i> и 1. За один ход разрешается записать на бумажку сумму или разность каких-нибудь двух уже записанных чисел или записать число, обратное к какому-нибудь из уже записанных чисел. Можно ли за несколько ходов получить на бумажке

 a) число <i>x</i>²?   б) число <i>xy</i>?

Докажите тождество <center><i> <img src="/storage/problem-media/109569/problem_109569_img_2.gif">+ <img src="/storage/problem-media/109569/problem_109569_img_3.gif">+..+ <img src="/storage/problem-media/109569/problem_109569_img_4.gif">=

<img src="/storage/problem-media/109569/problem_109569_img_5.gif">+ <img src="/storage/problem-media/109569/problem_109569_img_6.gif">+..+ <img src="/storage/problem-media/109569/problem_109569_img_7.gif">.

</i></center>

Доказать, что из равенства   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/108988/problem_108988_img_2.gif">   вытекает равенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/108988/problem_108988_img_3.gif">   если <i>k</i> нечётно.

Известно, что<i>a</i>+${\frac{b^2}{a}}$=<i>b</i>+${\frac{a^2}{b}}$. Верно ли, что<i>a</i>=<i>b</i>?

Для положительных чисел <i>x, y, z</i> выполнено равенство  ^<i>x</i>²/_<i>y</i> + ^<i>y</i>²/_<i>z</i> + ^<i>z</i>²/_<i>x</i> = ^<i>x</i>²/_<i>z</i> + ^<i>y</i>²/_<i>x</i> + ^<i>z</i>²/_<i>y</i>.  Докажите, что хотя бы два из чисел <i>x, y, z</i> равны между собой.

Решите уравнение:<div align="center"><img src="/storage/problem-media/104090/problem_104090_img_2.jpg"></div>

Известно, что при любом целом  <i>K</i> ≠ 27  число  <i>a – K</i>¹⁹⁶⁴  делится без остатка на  27 – <i>K</i>. Найти <i>a</i>.

Известно, что при любом целом  <i>K</i> ≠ 27  число  <i>a – K</i>³  делится на  27 – <i>K</i>. Найти <i>a</i>.

Что больше   <img width="252" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77920/problem_77920_img_2.gif">   или <img width="252" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77920/problem_77920_img_3.gif">?

Докажите, что если три числа <i>a, b, c</i> связаны соотношением  ¹/_<i>a</i> + ¹/_<i>b</i> + ¹/_<i>c</i> = ¹/_<i>a+b+c</i>,  то какие-либо два из этих чисел в сумме дают 0.

Вычислите произведение   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60313/problem_60313_img_2.gif">

Сломанный калькулятор выполняет только одну операцию "звездочка":  <i>a</i>&star;<i>b</i> = 1 – <i>a</i> : <i>b</i>.

Докажите, что с помощью этого калькулятора все же возможно выполнить любое из четырёх арифметических действий.

Пусть x - некоторое натуральное число. Среди утверждений:<table> 2x больше 70; </table><table> x меньше 100; </table><table> 3x больше 25; </table><table> x не меньше 10; </table><table> x больше 5; </table>три верных и два неверных. Чему равно x?

Найдите значение произведения (1-1/4)(1-1/9)...(1-1/100) (числа в знаменателях равны квадратам натуральных чисел от 2 до 10).