Олимпиадные задачи по теме «Многочлены» для 7 класса - сложность 1 с решениями

Существуют ли два одночлена, произведение которых равно –12<i>а</i>⁴<i>b</i>², а сумма является одночленом с коэффициентом 1?

На рисунке изображен график приведённого квадратного трёхчлена (ось ординат стёрлась, расстояние между соседними отмеченными точками

равно 1). Чему равен дискриминант этого трёхчлена? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116482/problem_116482_img_2.gif"></div>

Вычислите:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116475/problem_116475_img_2.gif">

Найдите все пары простых чисел, разность квадратов которых является простым числом.

Найдите<i>x</i>³+<i>y</i>³, если известно, что<i>x + y</i>= 5 и<i>x + y + x</i>²<i>y</i>+<i>xy</i>²= 24.

Графики функций  <i>у = х</i>² + <i>ах + b</i>  и  <i>у = х</i>² + <i>сх + d</i>  пересекаются в точке с координатами  (1, 1).  Сравните  <i>а</i>⁵ + <i>d</i>⁶  и  <i>c</i>⁶ – <i>b</i>⁵.

Два различных числа <i>x</i> и <i>y</i> (не обязательно целых) таковы, что  <i>x</i>² – 2000<i>x = y</i>² – 2000<i>y</i>.  Найдите сумму чисел <i>x</i> и <i>y</i>.

Найдите все такие функции  <i>f</i>(<i>x</i>), что  <i>f</i>(2<i>x</i> + 1) = 4<i>x</i>² + 14<i>x</i> + 7.

После урока Олег поспорил с Сашей, уверяя, что он знает такое натуральное число <i>m</i>, что число  ^<i>m</i>/₃ + ^<i>m</i>²/₂ + ^<i>m</i>³/₆  нецелое. Прав ли Олег? И если прав, то что это за число?

<b>Целое число.</b>Доказать, что если<img align="middle" src="/storage/problem-media/102793/problem_102793_img_2.gif">- целое число, то<img align="middle" src="/storage/problem-media/102793/problem_102793_img_3.gif">- тоже целое число.

Можно ли найти десять таких последовательных натуральных чисел, что сумма их квадратов равна сумме квадратов следующих за ними девяти последовательных натуральных чисел?

Найти хотя бы одно целочисленное решение уравнения  <i>a</i>²<i>b</i>² + <i>a</i>² + <i>b</i>² + 1 = 2005.

<i>a, b, c</i> – такие три числа, что  <i>a + b + c</i> = 0.  Доказать, что в этом случае справедливо соотношение  <i>ab + ac + bc</i> ≤ 0.

Докажите тождество   (<i>ax + by + cz</i>)² + (<i>bx + cy + az</i>)² + (<i>cx + ay + bz</i>)² = (<i>cx + by + az</i>)² + (<i>bx + ay + cz</i>)² + (<i>ax + cy + bz</i>)².

Найдите коэффициент при <i>x</i> у многочлена  (<i>x – a</i>)(<i>x – b</i>)(<i>x – c</i>)...(<i>x – z</i>).

Докажите равенство   (<i>a</i>² + <i>b</i>²)(<i>u</i>² + <i>v</i>²) = (<i>au + bv</i>)² + (<i>av – bu</i>)².

Докажите следующие формулы: <i>a</i>^<i>n</i>+1 – <i>b</i>^<i>n</i>+1 = (<i>a – b</i>)(<i>aⁿ + a</i>^<i>n</i>–1<i>b + ... + bⁿ</i>); <i>a</i>^2<i>n</i>+1 + <i>b</i>^2<i>n</i>+1 = (<i>a + b</i>)(<i>a</i>^2<i>n</i> – <i>a</i>^{2<i>n</i>–1}<i>b + a</i>^{2<i>n</i>–2}<i>b</i>² – ... + <i>b</i><sup>2<i&...

Найдите все натуральные  <i>n</i> > 1,  для которых  <i>n</i>³ – 3  делится на  <i>n</i> – 1.

Верно ли, что многочлен  <i>P</i>(<i>n</i>) = <i>n</i>² + <i>n</i> + 41  при всех <i>n</i> принимает только простые значения?

Найдите все простые числа <i>p</i> и <i>q</i>, для которых выполняется равенство  <i>p</i>² – 2<i>q</i>² = 1.

Число<i>x</i>таково, что число<i>x</i>+${\dfrac{1}{x}}$ — целое. Докажите, что при любом натуральном<i>n</i>число<i>x</i>ⁿ+${\frac{1}{x^n}}$также является целым.

Известно, что  <i>x</i> + ¹/_<i>x</i>  – целое число. Докажите, что  <i>xⁿ</i> + ¹/_<i>xⁿ</i>  – также целое при любом целом <i>n</i>.

Докажите, что квадрат нечётного числа дает остаток 1 при делении на 8.

Докажите, что  1 + 2⁷⁷ + 3⁷⁷ + ... + 1996⁷⁷  делится на 1997.

Вычислить  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/32077/problem_32077_img_2.gif"> .