Олимпиадные задачи по теме «Многочлены» для 10 класса

Найдите наибольшее значение выражения  <i>ab + bc + ac + abc</i>,  если  <i>a + b + c</i> = 12  (<i>a, b</i> и <i>с</i> – неотрицательные числа).

Дан многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) с целыми коэффициентами. Известно, что  <i>Р</i>(1) = 2013,  <i>Р</i>(2013) = 1,  <i>P</i>(<i>k</i>) = <i>k</i>,  где <i>k</i> – некоторое целое число. Найдите <i>k</i>.

Найдите все такие натуральные <i>k</i>, что при каждом нечётном  <i>n</i> > 100  число  20^<i>n</i> + 13^<i>n</i>  делится на <i>k</i>.

<i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>) – приведённые квадратные трёхчлены, имеющие по два различных корня. Оказалось, что сумма двух чисел, получаемых при подстановке корней трёхчлена <i>P</i>(<i>x</i>) в трёхчлен <i>Q</i>(<i>x</i>), равна сумме двух чисел, получаемых при подстановке корней трёхчлена <i>Q</i>(<i>x</i>) в трёхчлен <i>P</i>(<i>x</i>). Докажите, что дискриминанты трёхчленов <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>) равны.

Даны три квадратных трёхчлена <i>P</i>(<i>x</i>), <i>Q</i>(<i>x</i>) и <i>R</i>(<i>x</i>) с положительными старшими коэффициентами, имеющие по два различных корня. Оказалось, что при подстановке корней трёхчлена <i>R</i>(<i>x</i>) в многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) + <i>Q</i>(<i>x</i>)  получаются равные значения. Аналогично при подстановке корней трёхчлена <i>P</i>(<i>x</i>) в многочлен  <i>Q</i>(<i>x</i>) + <i>R</i>(<i>x</i>)  получаются равные значения, а также при подстановке корней трёхчлена <i>Q</i>(<i>x</i>) в многочлен  <i>P</i>(<i&g...

Ненулевые числа <i>a</i> и <i>b</i> таковы, что уравнение  <i>a</i>(<i>x – a</i>)² + <i>b</i>(<i>x – b</i>)² = 0  имеет единственное решение. Докажите, что  |<i>a| = |b</i>|.

Коэффициенты квадратного уравнения  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0  удовлетворяют условию  2<i>a</i> + 3<i>b</i> + 6<i>c</i> = 0.

Докажите, что это уравнение имеет корень на интервале  (0, 1).

На какую наибольшую степень двойки делится число  10²⁰ – 2²⁰?

Квадратный трёхчлен  <i>ax</i>² + 2<i>bx + c</i>  имеет два различных корня, а квадратный трёхчлен  <i>a</i>²<i>x</i>² + 2<i>b</i>²<i>x + c</i>²  корней не имеет.

Докажите, что у первого трёхчлена корни разного знака.

На координатной плоскости задан график функции  <i>y = kx + b</i>  (см. рисунок). В той же координатной плоскости схематически постройте график функции  <i>y = kx</i>² + <i>bx</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116806/problem_116806_img_2.gif"></div>

Известно, что модули корней каждого из двух квадратных трёхчленов  <i>x</i>² + <i>ax + b</i>  и  <i>x</i>² + <i>cx + d</i>  меньше 10. Может ли трёхчлен  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116803/problem_116803_img_2.gif">  иметь корни, модули которых не меньше 10?

Даны многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) и такие числа  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, <i>b</i>₁, <i>b</i>₂, <i>b</i>₃,  что  <i>a</i>₁<i>a</i>₂<i>a</i>₃ ≠ 0.  Оказалось, что  <i>P</i>(<i>a</i>₁<i>x + b</i>₁) + <i>P</i>(<i>a</i>₂<i>x + b</i>₂) = <i>P</i>(<i>a</i><sub>3&lt...

На координатной плоскости нарисовано <i>n</i> парабол, являющихся графиками квадратных трёхчленов; никакие две из них не касаются. Они делят плоскость на несколько областей, одна из которых расположена над всеми параболами. Докажите, что у границы этой области не более  2(<i>n</i> – 1)  углов (то есть точек пересечения пары парабол).

Изначально на доске были написаны одночленs  1, <i>x, x</i>², ..., <i>xⁿ</i>.  Договорившись заранее, <i>k</i> мальчиков каждую минуту одновременно вычисляли каждый сумму каких-то двух многочленов, написанных на доске, и результат дописывали на доску. Через <i>m</i> минут на доске были написаны, среди прочих, многочлены  <i>S</i>₁ = 1 + <i>x,  S</i>₂ = 1 + <i>x + x</i>²,  <i>S</i>₃ = 1 + <i>x + x</i>² + <i>x</i>³,  ...,  <i>S_n</i> = 1 + <i>x + x</i>² + ... + <i>xⁿ</i>.  Докажите...

Каждые два из действительных чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, <i>a</i>₄, <i>a</i>₅ отличаются не менее чем на 1. Оказалось, что для некоторого действительного <i>k</i> выполнены равенства   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116765/problem_116765_img_2.gif">   Докажите, что  <i>k</i>² ≥ ²⁵/₃.

Положительные действительные числа    <i>a</i>₁, ..., <i>a_n</i>  и <i>k</i> таковы, что  <i>a</i>₁ + ... + <i>a_n</i> = 3<i>k</i>,   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116758/problem_116758_img_2.gif">   и   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116758/problem_116758_img_3.gif"> .

Докажите, что какие-то два из чисел  <i>a</i>₁, ..., <i>a_n</i>  отличаются больше чем на 1.

Алёша написал на доске пять целых чисел – коэффициенты и корни квадратного трёхчлена. Боря стёр одно из них. Остались числа 2, 3, 4, –5. Восстановите стёртое число.

Назовем приведённый квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами <i>сносным</i>, если его корни – целые числа, а коэффициенты не превосходят по модулю 2013. Вася сложил все сносные квадратные трёхчлены. Докажите, что у него получился трёхчлен, не имеющий действительных корней.

Даны два различных приведённых кубических многочлена <i>F</i>(<i>x</i>) и <i>G</i>(<i>x</i>). Выписали все корни уравнений  <i>F</i>(<i>x</i>) = 0,  <i>G</i>(<i>x</i>) = 0,  <i>F</i>(<i>x</i>) = <i>G</i>(<i>x</i>). Оказалось, что выписаны восемь различных чисел. Докажите, что наибольшее и наименьшее из них не могут одновременно являться корнями многочлена <i>F</i>(<i>x</i>).

Для натуральных чисел  <i>a</i> > <i>b</i> > 1  определим последовательность  <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ...  формулой   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116644/problem_116644_img_2.gif"> .   Найдите наименьшее <i>d</i>, при котором ни при каких <i>a</i> и <i>b</i> эта последовательность не содержит <i>d</i> последовательных членов, являющихся простыми числами.

Даны 10 попарно различных чисел. Для каждой пары данных чисел Вася записал у себя в тетради квадрат их разности, а Петя записал у себя в тетради модуль разности их квадратов. Могли ли в тетрадях у мальчиков получиться одинаковые наборы из 45 чисел?

На доске написаны девять приведённых квадратных трёхчленов:  <i>x</i>² + <i>a</i>₁<i>x + b</i>₁,  <i>x</i>² + <i>a</i>₂<i>x + b</i>₂,  ...,  <i>x</i>² + <i>a</i>₉<i>x + b</i>₉. Известно, что последовательности  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₉  и  <i>b</i>₁, <i>b</i>₂, ..., <i>b</i>₉  – арифметические прогрессии. Оказалось, что сумма все...

У Пети и Коли в тетрадях записаны по два числа; изначально – это числа 1 и 2 у Пети, 3 и 4 – у Коли. Раз в минуту Петя составляет квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>), корнями которого являются записанные в его тетради два числа, а Коля – квадратный трёхчлен <i>g</i>(<i>x</i>), корнями которого являются записанные в его тетради два числа. Если уравнение  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>g</i>(<i>x</i>)  имеет два различных корня, то один из мальчиков заменяет свою пару чисел на эти корни; иначе ничего не происходит. Какое второе число могло оказаться у Пети в тетради в тот момент, когда первое стало равным 5?

Приведённый квадратный трёхчлен <i>P</i>(<i>x</i>) таков, что многочлены <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>P</i>(<i>P</i>(<i>P</i>(<i>x</i>))) имеют общий корень. Докажите, что  <i>P</i>(0)<i>P</i>(1) = 0.

Решите уравнение в целых числах:  <i>n</i>⁴ + 2<i>n</i>² + 2<i>n</i>² + 2<i>n</i> + 1 = <i>m</i>².