Олимпиадные задачи по теме «Комплексные числа» для 3-9 класса

Докажите, что если каждое из двух чисел является суммой квадратов двух целых чисел, то и их произведение является суммой квадратов двух целых чисел.

Докажите следующие равенства: а)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/85241/problem_85241_img_2.gif">

б)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/85241/problem_85241_img_3.gif">

в)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/85241/problem_85241_img_4.gif">

Докажите, что ни при каком целом <i>A</i> многочлен  3<i>x</i>^2<i>n</i> + <i>Ax</i>^<i>n</i> + 2  не делится на многочлен  2<i>x</i>^2<i>m</i> + <i>Ax</i>^<i>m</i> + 3.

Сумма тангенсов углов величиной 1°, 5°, 9°, 13°, ..., 173°, 177°<nobr>равна 45.</nobr>Докажите это.

Найдите все натуральные  <i>n</i> > 2,  для которых многочлен  <i>xⁿ + x</i>² + 1  делится на многочлен  <i>x</i>² + <i>x</i> + 1.

Куда переходит полоса  2 < Re <i>z</i> < 3  при отображениях:

  а)  <i>w = z</i>^–1;   б)  <i>w</i> = (<i>z</i> – 2)^–1;   в)  <i>w</i> = (<i>z</i> – ⁵/₂)^–1?

Постройте образ квадрата с вершинами  <i>A</i>(0, 0),  <i>B</i>(0, 2),  <i>C</i>(2, 2),  <i>D</i>(2, 0)  при следующих преобразованиях:

  а)  <i>w = iz</i>;   б)  <i>w</i> = 2<i>iz</i> – 1;   в)  <i>w = z</i>²;   г)  <i>w = z</i>^–1.

Докажите при помощи комплексных чисел, что композицией двух гомотетий является гомотетия или параллельный перенос:   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61154/problem_61154_img_2.gif">   причём в первом случае вектор <i>a</i> параллелен прямой <i>A</i>₁<i>A</i>₂, а во втором случае центр результирующей гомотетии <i>A</i> лежит на прямой <i>A</i>₁<i>A</i>₂ и  <i>k = k</i>₁<i>k</i>₂.  Здесь  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61154/problem_61154_img_3.gif">  обозначает гомотетию...

Представить гомотетию  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61153/problem_61153_img_2.gif">  с центром в точке <i>i</i> с коэффициентом 2 в виде композиции параллельного переноса и гомотетии с центром в точке <i>O</i>.

<з>Выразите в виде  <i>w = f</i>(<i>z</i>)  следующие геометрические преобразования:   а)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61152/problem_61152_img_2.gif">  б)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61152/problem_61152_img_3.gif">  в)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61152/problem_61152_img_4.gif">  г)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61152/problem_61152_img_5.gif">;   д)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61152/problem_61152_img_6.gif">  е)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61152/problem_61152_img_7.gif"&gt...

Как представить в виде  <i>w = f</i>(<i>z</i>)  симметрию относительно прямой <i>l</i>, проходящей через начало координат под углом φ к оси <i>Ox</i>?

Каким геометрическим преобразованиям плоскости соответствуют следующие отображения:

  а)  <i>w = z + a</i>;   б) <i>w</i> = 2<i>z</i>;   в) <i>w</i> = <i>z</i>(cos φ + <i>i</i> sin φ);   г)   <i>w</i> = <span style="text-decoration: overline;"><i>z</i></span> ?

Во что перейдёт угол градусной меры α вершиной в начале координат в результате преобразования  <i>w = z</i>³?

Во что перейдёт треугольник с вершинами в точках: 0,  1 – <i>i</i>,  1 + <i>i</i>  в результате преобразования  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61148/problem_61148_img_2.gif">

Найдите все корни уравнения  (<i>z</i> – 1)^<i>n</i> = (<i>z</i> + 1)^<i>n</i>.

Чему равна сумма квадратов корней данного уравнения?

Пусть <i>P</i>(<i>xⁿ</i>) делится на  <i>x</i> – 1.  Докажите, что <i>P</i>(<i>xⁿ</i>) делится на  <i>xⁿ</i> – 1.

Докажите, что корни уравнения  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61134/problem_61134_img_2.gif">  где <i>a, b, c</i> – попарно различные комплексные числа, лежат внутри треугольника с вершинами в точках <i>a, b, c</i>, или на его сторонах (в случае вырожденного треугольника).

Пусть <i>z</i>₁, <i>z</i>₂, ..., <i>z_n</i> – вершины выпуклого многоугольника. Найдите геометрическое место точек  <i>z</i> = λ₁<i>z</i>₁ + λ₂<i>z</i>₂ + ... + λ<i>_nz_n</i>,  где λ₁, λ₂, ..., λ_<i>n</i> – такие действительные положительные числа, что  λ₁ + λ₂ + ... + λ_<i>n</i> = 1.

Пусть <i>z</i>₁, ..., <i>z_n</i> – отличные от нуля комплексные числа, лежащие в полуплоскости  α < arg <i>z</i> < α + π.  Докажите, что

  а)  <i>z</i>₁ + ... + <i>z_n</i> ≠ 0;

  б)  ¹/_<i>z</i>₁ + ... + ¹/_{<i>z_n</i>} ≠ 0.

а) Докажите равенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61128/problem_61128_img_2.gif"> б) Вычислите суммы   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61128/problem_61128_img_3.gif">

а) Докажите равенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61127/problem_61127_img_2.gif"> б) Вычислите сумму   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61127/problem_61127_img_3.gif">

Используя разложение  (1 + <i>i</i>)^<i>n</i>  по формуле бинома Ньютона, найдите:

  а)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61126/problem_61126_img_2.gif">   б)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61126/problem_61126_img_3.gif">

а) Докажите равенство:   cos φ + ... + cos <i>n</i>φ = <img width="115" height="58" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61123/problem_61123_img_2.gif">;

б) Вычислите сумму:   sinφ + ... + sin <i>n</i>φ.

Докажите, что произвольный многочлен с действительными коэффициентами можно разложить в произведение многочленов первой и второй степени, которые также будут иметь действительные коэффициенты.

Пусть многочлен с действительными коэффициентами <i>f</i>(<i>x</i>) имеет корень  <i>a + ib</i>.  Докажите, что число  <i>a – ib</i>  также будет корнем <i>f</i>(<i>x</i>).