Олимпиадные задачи по теме «Алгебраические уравнения и системы уравнений» - сложность 3-5 с решениями

Ненулевые числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> таковы, что каждые два из трёх уравнений  <i>ax</i>¹¹ + <i>bx</i>⁴ + <i>c</i> = 0,  <i>bx</i>¹¹ + <i>cx</i>⁴ + <i>a</i> = 0,  <i>cx</i>¹¹ + <i>ax</i>⁴ + <i>b</i> = 0  имеют общий корень. Докажите, что все три уравнения имеют общий корень.

Набор чисел<i>a</i>₀,<i>a</i>₁, ...,<i>a_n</i>удовлетворяет условиям:  <i>a</i>₀= 0,  0 ≤<i>a</i>_<i>k</i>+1–<i>a_k</i>≤ 1  при  <i>k</i>= 0, 1, ...,<i>n</i>– 1.  Докажите неравенство  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110096/problem_110096_img_2.gif">

Набор чисел <i>a</i>₀, <i>a</i>₁, ..., <i>a_n</i> удовлетворяет условиям:  <i>a</i>₀ = 0,  <i>a</i>_<i>k</i>+1 ≥ <i>a</i>_<i>k</i> + 1  при  <i>k</i> = 0, 1, ..., <i>n</i> – 1.  Докажите неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110087/problem_110087_img_2.gif">

Участникам тестовой олимпиады было предложено <i>n</i> вопросов. Жюри определяет сложность каждого из вопросов: целое положительное количество баллов, получаемых участниками за правильный ответ на вопрос. За неправильный ответ начисляется 0 баллов, все набранные участником баллы суммируются. Когда все участники сдали листки со своими ответами, оказалось, что жюри так может определить сложность вопросов, чтобы места между участниками распределились любым наперед заданным образом. При каком наибольшем числе участников это могло быть?

Существуют ли 1998 различных натуральных чисел, произведение каждых двух из которых делится нацело на квадрат их разности?

Уравнение  <i>x</i>² + <i>ax + b</i> = 0  имеет два различных действительных корня.

Докажите, что уравнение  <i>x</i>⁴ + <i>ax</i>³ + (<i>b</i> – 2)<i>x</i>² – <i>ax</i> + 1 = 0  имеет четыре различных действительных корня.

Решите в положительных числах систему уравнений     <img src="/storage/problem-media/109538/problem_109538_img_2.gif">

Значение <i>a</i> подобрано так, что число корней первого из уравнений  4^<i>x</i> – 4^–<i>x</i> = 2 cos <i>ax</i>,  4^<i>x</i> + 4^–<i>x</i> = 2 cos <i>ax</i> + 4  равно 2007.

Сколько корней при том же <i>a</i> имеет второе уравнение?

Решите уравнение:  (<i>x</i>³ – 2)(2^{sin <i>x</i>} – 1) + (2^<i>x</i>³ – 4) sin <i>x</i> = 0.

Решить уравнение  (<i>x</i>² – <i>x</i> + 1)⁴ – 10<i>x</i>²(<i>x</i>² – <i>x</i> + 1)² + 9<i>x</i>⁴ = 0.

Решить систему уравнений     1 − <i>x</i>₁<i>x</i>₂<i>x</i>₃ = 0,

    1 + <i>x</i>₂<i>x</i>₃<i>x</i>₄ = 0,

    1 − <i>x</i>₃<i>x</i>₄<i>x</i>₅ = 0,

    1 + <i>x</i>₄<i>x</i>₅<i>x</i>₆ = 0,

      ...

    1 − <i>x</i>₄₇<i>x</i>₄₈<i>x</i>₄₉ = 0,

    1 + <i&...

Найти решение системы

  <i>x</i>⁴ + <i>y</i>⁴ = 17,

  <i>x + y</i> = 3.

Решить систему уравнений     <img align="middle" src="/storage/problem-media/108989/problem_108989_img_2.gif">

На отрезке  [0, 1]  отмечено несколько различных точек. При этом каждая отмеченная точка расположена либо ровно посередине между двумя другими отмеченными точками (не обязательно соседними с ней), либо ровно посередине между отмеченной точкой и концом отрезка. Докажите, что все отмеченные точки рациональны.

Рассматривается выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Пары его противоположных сторон продолжены до пересечения: <i>AB</i> и <i>CD</i> – в точке <i>P, CB</i> и <i>DA</i> – в точке <i>Q</i>. Пусть <i>l_A, l_B, l_C</i> и <i>l_D</i> – биссектрисы внешних углов четырёхугольника при вершинах соответственно <i>A, B, C, D</i>. Пусть <i>l_P</i> и <i>l_Q</i> – внешние биссектрисы углов соответственно <i>A_PD</i> и <i>A_QB</i> (то есть биссектрисы углов, дополняющих эти угл...

Натуральное число <i>n</i> таково, что  3<i>n</i> + 1  и  10<i>n</i> + 1  являются квадратами натуральных чисел. Докажите, что число  29<i>n</i> + 11  – составное.

<i>n</i> красных и <i>n</i> синих точек, строго чередуясь, разделили окружность на 2<i>n</i> дуг так, что каждые две смежные из них имеют различную длину. При этом длины каждой из этих дуг равны одному из трёх чисел: <i>a, b</i> или <i>c</i>. Докажите, что <i>n</i>-угольник с красными вершинами и <i>n</i>-угольник с синими вершинами имеют равные периметры и равные площади.

а) На доске выписано 100 различных чисел. Докажите, что среди них можно выбрать восемь чисел так, чтобы их среднее арифметическое не представлялось в виде среднего арифметического никаких девяти из выписанных на доске чисел. б) На доске выписано 100 <i>целых</i> чисел. Известно, что для любых восьми из этих чисел найдутся такие девять из этих чисел, что среднее арифметическое этих восьми чисел равно среднему арифметическому этих девяти чисел. Докажите, что все числа равны.

Шайка разбойников отобрала у купца мешок монет. Каждая монета стоит целое число грошей. Оказалось, что какую бы монету ни отложить, оставшиеся монеты можно разделить между разбойниками так, чтобы каждый получил одинаковую сумму в грошах. Докажите, что если отложить одну монету, то число монет разделится на число разбойников.

Положительные числа <i>A, B, C</i> и <i>D</i> таковы, что система уравнений

    <i>x</i>² + <i>y</i>² = <i>A</i>,

    |<i>x| + |y| = B</i>

имеет <i>m</i> решений, а система уравнений

    <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = <i>C</i>,

    |<i>x| + |y| + |z| = D</i>

имеет <i>n</i> решений. Известно, что  <i>m > n</i> > 1.  Найдите <i>m</i> и <i>n</i>.

Функция<i>f</i>(<i>x</i>) при каждом значении  <i>x</i>∈ (− ∞, + ∞)  удовлетворяет равенству  <i>f</i>(<i>x</i>) + (<i>x</i>+ ½)<i>f</i>(1 −<i>x</i>) = 1.   а) Найдите<i>f</i>(0) и<i>f</i>(1).   б) Найдите все такие функции<i>f</i>(<i>x</i>).

Решите уравнение  (1 + <i>x + x</i>²)(1 + <i>x + ... + x</i>¹⁰) = (1 + <i>x + ... + x</i>⁶)².

Найдите все положительные числа <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x</i>₁₀, удовлетворяющие при всех  <i>k</i> = 1, 2,..., 10  условию   (<i>x</i>₁ + ... + <i>x_k</i>)(<i>x_k + ... + x</i>₁₀) = 1.

Рассматривается система уравнений:

<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78686/problem_78686_img_2.gif">

Докажите, что при некоторых <i>k</i> такая система имеет решение.

Дана система уравнений:

    <img width="20" height="111" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78282/problem_78282_img_2.gif"><img width="247" height="111" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78282/problem_78282_img_3.gif">

Какие значения может принимать <i>x</i>₂₅?