Олимпиадные задачи по теме «Алгебраические уравнения и системы уравнений» для 8 класса, сложность 3

Задача 209581 • Сложность: 3 • 8-10 класс

Уравнение x² + ax + b = 0 имеет два различных действительных корня.

Докажите, что уравнение x4 + ax³ + (b – 2)x² – ax + 1 = 0 имеет четыре различных действительных корня.

Берлов С. Л. Многочлены Алгебраические уравнения и системы уравнений

Задача 209538 • Сложность: 3 • 8-10 класс

Решите в положительных числах систему уравнений <img src="/storage/problem-media/109538/problem_109538_img_2.gif">

Перлин А. Алгебраические уравнения и системы уравнений

Задача 209038 • Сложность: 3 • 8-10 класс

Решить систему уравнений 1 − x1x2x3 = 0,

1 + x2x3x4 = 0,

1 − x3x4x5 = 0,

1 + x4x5x6 = 0,

...

1 − x47x48x49 = 0,

1 + <i&...

Алгебраические уравнения и системы уравнений

Задача 209011 • Сложность: 3 • 8-10 класс

Найти решение системы

x4 + y4 = 17,

x + y = 3.

Многочлены Алгебраические уравнения и системы уравнений

Задача 207770 • Сложность: 3 • 8-11 класс

Рассматривается выпуклый четырёхугольник ABCD. Пары его противоположных сторон продолжены до пересечения: AB и CD – в точке P, CB и DA – в точке Q. Пусть lA, lB, lC и lD – биссектрисы внешних углов четырёхугольника при вершинах соответственно A, B, C, D. Пусть lP и lQ – внешние биссектрисы углов соответственно APD и AQB (то есть биссектрисы углов, дополняющих эти угл...

Маркелов С. В. Алгебраические уравнения и системы уравнений Планиметрия

Задача 205213 • Сложность: 3 • 8-10 класс

Натуральное число n таково, что 3n + 1 и 10n + 1 являются квадратами натуральных чисел. Докажите, что число 29n + 11 – составное.

Теория чисел. Делимость Алгебраические уравнения и системы уравнений Доказательство от противного

Задача 198543 • Сложность: 3 • 8-9 класс

n красных и n синих точек, строго чередуясь, разделили окружность на 2n дуг так, что каждые две смежные из них имеют различную длину. При этом длины каждой из этих дуг равны одному из трёх чисел: a, b или c. Докажите, что n-угольник с красными вершинами и n-угольник с синими вершинами имеют равные периметры и равные площади.

Произволов В. В. Алгебраические уравнения и системы уравнений Планиметрия

Задача 198489 • Сложность: 3 • 8-9 класс

а) На доске выписано 100 различных чисел. Докажите, что среди них можно выбрать восемь чисел так, чтобы их среднее арифметическое не представлялось в виде среднего арифметического никаких девяти из выписанных на доске чисел. б) На доске выписано 100 целых чисел. Известно, что для любых восьми из этих чисел найдутся такие девять из этих чисел, что среднее арифметическое этих восьми чисел равно среднему арифметическому этих девяти чисел. Докажите, что все числа равны.

Шаповалов А. В. Теория чисел. Делимость Алгебраические уравнения и системы уравнений Доказательство от противного Принцип крайнего Средние величины

Задача 198410 • Сложность: 3 • 7-8 класс

Шайка разбойников отобрала у купца мешок монет. Каждая монета стоит целое число грошей. Оказалось, что какую бы монету ни отложить, оставшиеся монеты можно разделить между разбойниками так, чтобы каждый получил одинаковую сумму в грошах. Докажите, что если отложить одну монету, то число монет разделится на число разбойников.

Шаповалов А. В. Теория чисел. Делимость Алгебраические уравнения и системы уравнений

Задача 179590 • Сложность: 3 • 8-10 класс

Решите уравнение (1 + x + x²)(1 + x + ... + x10) = (1 + x + ... + x6)².

Многочлены Алгебраические уравнения и системы уравнений

Задача 178012 • Сложность: 3 • 8-9 класс

Решить систему: 10x1 + 3x2 + 4x3 + x4 + x5 = 0, 11x2 + 2x3 + 2x4 + 3x5 + x6 = 0, 15x3 + 4x4 + 5x5 + 4x6 + x7 = 0, 2x1&...

Алгебраические уравнения и системы уравнений

Задача 176443 • Сложность: 3 • 8-9 класс

Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Через каждые две из них провести окружность так, чтобы три проведённые окружности имели в точках пересечения взаимно перпендикулярные касательные.

Алгебраические уравнения и системы уравнений Планиметрия

Задача 173607 • Сложность: 3 • 8-10 класс

Пусть p – произвольное вещественное число. Найдите все такие x, что сумма кубических корней из чисел 1 – x и 1 + x равна p.

Ионин Ю. И. Корни. Степень с рациональным показателем Алгебраические уравнения и системы уравнений Методы решения задач с параметром

Задача 173541 • Сложность: 3 • 7-10 класс

Перед вами часы. Сколько существует положений стрелок, по которым нельзя определить время, если не знать, какая стрелка часовая,

а какая – минутная?

Поздняков С. Текстовые задачи Алгебраические уравнения и системы уравнений Планиметрия Графики и ГМТ на координатной плоскости

Задача 166474 • Сложность: 3 • 8-11 класс

Докажите, что для любых натуральных a1, a2, ..., ak таких, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66474/problem_66474_img_2.png">, у уравнения <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66474/problem_66474_img_3.png">не больше чем a1a2...ak решений в натуральных числах. ([x] – целая часть числа x, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее x.)

Григорьев М. А. Алгебраические неравенства и системы неравенств Алгебраические уравнения и системы уравнений Действительные числа

Задача 165263 • Сложность: 3 • 8-11 класс

Можно ли:

а) нагрузить две монеты так, чтобы вероятности выпадения "орла" и "решки" были разные, а вероятности выпадения любой из комбинаций "решка, решка", "орел, решка", "орел, орел" были бы одинаковы?

б) нагрузить две кости так, чтобы вероятность выпадения любой суммы от 2 до 12 была одинаковой?

Алгебраические неравенства и системы неравенств Алгебраические уравнения и системы уравнений Теория вероятностей

Задача 165110 • Сложность: 3 • 7-8 класс

Петя записал 25 чисел в клетки квадрата 5×5. Известно, что их сумма равна 500. Вася может попросить его назвать сумму чисел в любой клетке и всех её соседях по стороне. Может ли Вася за несколько таких вопросов узнать, какое число записано в центральной клетке?

Бакаев Е. В. Текстовые задачи Алгебраические уравнения и системы уравнений

Задача 164712 • Сложность: 3 • 8-9 класс

На столе лежат 9 яблок, образуя 10 рядов по 3 яблока в каждом (см. рис.). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/64712/problem_64712_img_2.gif"></div>Известно, что у девяти рядов веса одинаковы, а вес десятого ряда от них отличается. Есть электронные весы, на которых за рубль можно узнать вес любой группы яблок. Какое наименьшее число рублей надо заплатить, чтобы узнать, вес какого именно ряда отличается?

Шаповалов А. В. Алгебраические уравнения и системы уравнений Комбинаторная геометрия

Задача 161349 • Сложность: 3 • 8-11 класс

Решите системы уравнений: а) x1 + x2 + x3 = 0,

x2 + x3 + x4 = 0,

&nbsp ...

x99 + x100 + x1 = 0,

x100 + x1 + x2 = 0; б) x + y + z = a,

y + z + t = b,

y + z + t = c,

<...

Алгебраические уравнения и системы уравнений

Задача 161173 • Сложность: 3 • 8-11 класс

Решите систему <img width="20" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61173/problem_61173_img_2.gif"><img width="129" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61173/problem_61173_img_3.gif"> Какой геометрический смысл она имеет?

Алгебраические уравнения и системы уравнений Планиметрия Геометрические методы

Задача 161041 • Сложность: 3 • 8-10 класс

а) Числа a, b, c являются тремя из четырёх корней многочлена x4 – ax3 – bx + c. Найдите все такие многочлены.

б) Числа a, b, c являются корнями многочлена x4 – ax3 – bx + c. Найдите все такие многочлены.

Многочлены Алгебраические уравнения и системы уравнений

Задача 161040 • Сложность: 3 • 8-11 класс

Решите системы: а) <img align="middle" src="/storage/problem-media/61040/problem_61040_img_2.gif"> б) x(y + z) = 2, y(z + x) = 2, z(x + y) = 3; в) x2 + y2 + x + y = 32, 12(x + y) = 7xy; г) <img align="middle" src="/storage/problem-media/61040/problem_61040_img_3.gif"> д) x + y + z = 1, xy + xz + yz = –4, x3 + y3 + z3</sup&gt...

Многочлены Алгебраические уравнения и системы уравнений

Задача 161017 • Сложность: 3 • 8-10 класс

Решите уравнения:

a) x4 + x3 – 3a2x2 – 2a2x + 2a4 = 0;

б) x3 – 3x = a3 + a–3.

Многочлены Алгебраические уравнения и системы уравнений

Задача 161016 • Сложность: 3 • 8-10 класс

Найдите рациональные корни многочленов:

а) x5 – 2x4 – 4x3 + 4x2 – 5x + 6;

б) x5 + x4 – 6x3 – 14x2 – 11x – 3.

Алгебраические уравнения и системы уравнений Действительные числа

Задача 134923 • Сложность: 3 • 8-10 класс

Решите уравнение x³ + x² + x + 1/3 = 0.

Многочлены Алгебраические уравнения и системы уравнений

Олимпиадные задачи по теме «Алгебраические уравнения и системы уравнений» для 8 класса - сложность 3 с решениями

Алгебраические уравнения и системы уравнений

Источники

Фильтры

Фильтры

Олимпиадные задачи по теме «Алгебраические уравнения и системы уравнений» для 8 класса - сложность 3 с решениями

Алгебраические уравнения и системы уравнений

Источники

Фильтры

Фильтры

Подтверждение удаления