Задача
Можно ли:
а) нагрузить две монеты так, чтобы вероятности выпадения "орла" и "решки" были разные, а вероятности выпадения любой из комбинаций "решка, решка", "орел, решка", "орел, орел" были бы одинаковы?
б) нагрузить две кости так, чтобы вероятность выпадения любой суммы от 2 до 12 была одинаковой?
Решение
а) Покажем, что так нагрузить монеты невозможно. Сразу заметим, что если обе монеты симметричны, то выпадение комбинации "орел, решка" более вероятно, чем выпадение остальных комбинаций. Поэтому можно считать, что у первой монеты вероятность выпадения "орла" больше. Рассмотрим все возможные случаи.
1) У второй монеты вероятность выпадения "орла" не меньше, чем вероятность выпадения "решки". Тогда при бросании двух монет вероятность выпадения комбинации "орел, орел" больше, чем вероятность выпадения комбинации "решка, решка".
2) У второй монеты вероятность выпадения "решки" больше, чем вероятность выпадения "орла". Тогда вероятность выпадения комбинации "орел, решка" не меньше вероятности выпадения на первой монете "орла", а на второй – "решки", что в свою очередь больше вероятности выпадения комбинации "решка, решка". б) Предположим, что нам удалось нагрузить две кости требуемым образом. Пусть вероятность выпадения "i" на первой кости равна Pi, а на второй кости – Qi. Заметим, что единственный способ получить при бросании сумму 2 – это выбросить "1" и "1", а единственный способ получить 12 – выбросить "6" и "6". Значит, P1Q1 = P6Q6 = 1/11 ≠ 0;. Также заметим, что вероятность получения суммы 7 не меньше, чем вероятность события
A = {на одной из костей выпало "1", а на другой – "6"}.
Поскольку вероятность события A равна P1Q6 + P6Q1, и вероятность получения суммы 7 равна вероятности получения суммы 2 по условию, то
P1Q1 ≥ P1Q6 + P6Q1. Значит, P1Q1 > P1Q6, то есть Q1 > Q6. Аналогично P1 > P6. Следовательно, P1Q1 > P6Q6. Противоречие.
Ответ
Нельзя.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь