Олимпиадные задачи по теме «Алгебраические неравенства и системы неравенств» для 7 класса - сложность 1-3 с решениями

Найдите все пары простых чисел <i>p</i> и <i>q</i>, обладающие следующим свойством:  7<i>p</i> + 1  делится на <i>q</i>, а  7<i>q</i> + 1  делится на <i>p</i>.

Даны 11 гирь разного веса (одинаковых нет), каждая весит целое число граммов. Известно, что как ни разложить гири (все или часть) на две чаши, чтобы гирь на них было не поровну, всегда перевесит чаша, на которой гирь больше. Докажите, что хотя бы одна из гирь весит более 35 граммов.

Из четырёх неравенств  2<i>x</i> > 70,  <i>x</i> < 100,  4<i>x</i> > 25  и  <i>x</i> > 5  два истинны и два ложны. Найдите значение <i>x</i>, если известно, что оно целое.

Какое наибольшее значение может принимать выражение   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115510/problem_115510_img_2.gif">   где <i>a, b, c</i> – попарно различные ненулевые цифры?

Графики функций  <i>у = х</i>² + <i>ах + b</i>  и  <i>у = х</i>² + <i>сх + d</i>  пересекаются в точке с координатами  (1, 1).  Сравните  <i>а</i>⁵ + <i>d</i>⁶  и  <i>c</i>⁶ – <i>b</i>⁵.

При изготовлении партии из  <i>N</i> ≥ 5  монет работник по ошибке изготовил две монеты из другого материала (все монеты выглядят одинаково). Начальник знает, что таких монет ровно две, что они весят одинаково, но отличаются по весу от остальных. Работник знает, какие это монеты и что они легче остальных. Ему нужно, проведя два взвешивания на чашечных весах без гирь, убедить начальника в том, что фальшивые монеты легче настоящих, и в том, какие именно монеты фальшивые. Может ли он это сделать?

Может ли в наборе из шести чисел  (<i>a, b, c</i>, ^<i>a</i>²/_<i>b</i>, ^<i>b</i>²/_<i>c</i>, ^<i>c</i>²/_<i>a</i>},  где <i>a, b, c</i> – положительные числа, оказаться ровно три различных числа?

Некоторые натуральные числа отмечены. Известно, что на каждом отрезке числовой прямой длины 1999 есть отмеченное число.

Докажите, что найдётся пара отмеченных чисел, одно из которых делится на другое.

Дано натуральное число $N$. Для того чтобы найти целое число, ближайшее к $\sqrt{N}$, воспользуемся следующим способом: найдём среди квадратов натуральных чисел число $a^2$, ближайшее к числу $N$; тогда $a$ и будет искомым числом. Обязательно ли этот способ даст правильный ответ?

Доказать неравенство  <i>abc</i>² + <i>bca</i>² + <i>cab</i>² ≤ <i>a</i>⁴ + <i>b</i>⁴ + <i>c</i>⁴.

Девять одинаковых конфет стоят 11 рублей с копейками, а тринадцать таких конфет стоят 15 рублей с копейками. Сколько стоит одна конфета?

Пусть <i>a, b, c</i> – такие целые неотрицательные числа, что   28<i>a</i> + 30<i>b</i> + 31<i>c</i> = 365.  Докажите, что  <i>a + b + c</i> = 12.

Имеется 10 отрезков, причём известно, что длина каждого – целое число сантиметров. Два самых коротких отрезка – по сантиметру, самый длинный – 50 см. Докажите, что среди отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник.

Каждую неделю Ваня получает ровно одну оценку ("3", "4" или "5") по каждому из семи предметов. Он считает неделю удачной, если количество предметов, по которым оценка улучшилась, превышает хотя бы на два количество предметов, по которым оценка ухудшилась. Оказалось, что <i>n</i> недель подряд были удачными, и в последнюю из них оценка по каждому предмету в точности совпала с оценкой первой недели. Чему могло равняться число <i>n</i>?

Про положительные числа <i>a, b, c</i> известно, что  ¹/_<i>a</i> + ¹/_<i>b</i> + ¹/<i>_c ≥ a + b + c</i>.  Докажите, что  <i>a + b + c</i> ≥ 3<i>abc</i>.

Пусть <i>a, b, c</i> – стороны треугольника. Докажите неравенство  <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + 3<i>abc > c</i>³.

Сравнив дроби  ¹¹¹¹¹⁰/₁₁₁₁₁₁,  ²²²²²¹/₂₂₂₂₂₃,  ³³³³³¹/₃₃₃₃₃₄,  расположите их в порядке возрастания.

Петя тратит &frac13; своего времени на игру в футбол, &frac15; – на учебу в школе, &frac16; – на просмотр кинофильмов, ¹/₇₀ – на решение олимпиадных задач и &frac13; – на сон. Можно ли так жить?

Числитель и знаменатель дроби – натуральные числа, дающие в сумме 101. Известно, что дробь не превосходит &frac13;.

Укажите наибольшее возможное значение такой дроби.

Существуют ли такие двузначные числа  <span style="text-decoration: overline;"><i>ab</i></span>,  <span style="text-decoration: overline;"><i>cd</i></span>,  что  <span style="text-decoration: overline;"><i>ab</i></span>·<span style="text-decoration: overline;"><i>cd</i></span> = <span style="text-decoration: overline;"><i>abcd</i></span>.

Что больше 2⁷⁰⁰ или 5³⁰⁰?

При каких значениях <i>a</i> и <i>b</i> выражение  <i>p</i> = 2<i>a</i>² − 8<i>ab</i> + 17<i>b</i>² − 16<i>a</i> − 4<i>b</i> + 2044  принимает наименьшее значение? Чему равно это значение?

Найдите все пары целых чисел  (<i>x, y</i>),  для которых числа  <i>x</i>³ + <i>y</i>  и  <i>x + y</i>³  делятся на  <i>x</i>² + <i>y</i>².

Докажите неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98394/problem_98394_img_2.gif">   (<i>a, b, c</i> – положительные числа).

Имеется 25 кусков сыра разного веса. Всегда ли можно один из этих кусков разрезать на две части и разложить сыр в два пакета так, что части разрезанного куска окажутся в разных пакетах, веса пакетов будут одинаковы и число кусков в пакетах также будет одинаково?