Олимпиадная задача для 7-9 класса: доказательство существования треугольника из заданных отрезков
Задача
Имеется 10 отрезков, причём известно, что длина каждого – целое число сантиметров. Два самых коротких отрезка – по сантиметру, самый длинный – 50 см. Докажите, что среди отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник.
Решение
Предположим противное: ни из каких трёх отрезков нельзя составить треугольник. Рассмотрим длины отрезков в сантиметрах по возрастанию:
l1 = l2 = 1 ≤ l3 ≤ l4 ≤ ... ≤ l10 = 50. Так как из трёх самых коротких отрезков нельзя составить треугольник, то l3 ≥ l1 + l2 = 2. Аналогично
l4 ≥ l2 + l3 ≥ 1 + 2 = 3. Далее, l5 ≥ 2 + 3 = 5, l6 ≥ 3 + 5 = 8, l7 ≥ 5 + 8 = 13, l8 ≥ 8 + 13 = 21, l9 ≥ 13 + 21 = 33, l10 ≥ 21 + 33 = 55. Противоречие.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь