Олимпиадные задачи по математике для 8 класса - сложность 2 с решениями

Три квадратные дорожки с общим центром отстоят друг от друга на 1 м (см. рис.). Три муравья стартуют одновременно из левых нижних углов дорожек и бегут с одинаковой скоростью: Му и Ра против часовой стрелки, а Вей по часовой. Когда Му добежал до правого нижнего угла большой дорожки, двое других, не успев ещё сделать полного круга, находились на правых сторонах своих дорожек, и все трое оказались на одной прямой. Найдите стороны квадратов. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116965/problem_116965_img_2.gif"></div>

Вокруг стола пустили пакет с семечками. Первый взял 1 семечку, второй – 2, третий – 3 и так далее: каждый следующий брал на одну семечку больше. Известно, что на втором круге было взято в сумме на 100 семечек больше, чем на первом. Сколько человек сидело за столом?

В квадрате закрашена часть клеток, как показано на рисунке. Разрешается перегнуть квадрат по любой линии сетки, а затем разогнуть обратно. Клетки, которые при перегибании совмещаются с закрашенными, тоже закрашиваются. Можно ли закрасить весь квадрат:

  а) за 5 или менее;

  б) за 4 или менее;

  в) за 3 или менее таких перегибания?<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116962/problem_116962_img_2.gif"></div>

Существуют ли такие 2013 различных натуральных чисел, что сумма каждых 2012 из них не меньше квадрата оставшегося?

<i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>) – приведённые квадратные трёхчлены, имеющие по два различных корня. Оказалось, что сумма двух чисел, получаемых при подстановке корней трёхчлена <i>P</i>(<i>x</i>) в трёхчлен <i>Q</i>(<i>x</i>), равна сумме двух чисел, получаемых при подстановке корней трёхчлена <i>Q</i>(<i>x</i>) в трёхчлен <i>P</i>(<i>x</i>). Докажите, что дискриминанты трёхчленов <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>) равны.

Три натуральных числа таковы, что последняя цифра суммы любых двух из них является последней цифрой третьего числа. Произведение этих трёх чисел записали на доске, а затем всё, кроме трёх последних цифр этого произведения, стёрли. Какие три цифры могли остаться на доске?

Натуральные числа <i>a, b</i> и <i>c</i>, где <i>c</i> ≥ 2, таковы, что  ¹/_<i>a</i> + ¹/_<i>b</i> = ¹/_<i>c</i>.  Докажите, что хотя бы одно из чисел  <i>a + c,  b + c</i> – составное.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AA</i>₁ и <i>CC</i>₁. Описанная окружность Ω треугольника <i>ABC</i> пересекает прямую <i>A</i>₁<i>C</i>₁ в точках <i>A'</i> и <i>C'</i>. Касательные к Ω, проведённые в точках <i>A'</i> и <i>C'</i>, пересекаются в точке <i>B'</i>. Докажите, что прямая <i>BB'</i> проходит через центр окружности Ω.

30 девочек – 13 в красных платьях и 17 в синих платьях – водили хоровод вокруг новогодней ёлки. Впоследствии каждую из них спросили, была ли её соседка справа в синем платье. Оказалось, что правильно ответили те и только те девочки, которые стояли между девочками в платьях одного цвета. Сколько девочек могли ответить утвердительно?

Ненулевые числа <i>a</i> и <i>b</i> таковы, что уравнение  <i>a</i>(<i>x – a</i>)² + <i>b</i>(<i>x – b</i>)² = 0  имеет единственное решение. Докажите, что  |<i>a| = |b</i>|.

По кругу выписаны 1000 чисел. Петя вычислил модули разностей соседних чисел, Вася – модули разностей чисел, стоящих через одно, а Толя – модули разностей чисел, стоящих через два. Известно, что каждое Петино число больше любого Васиного хотя бы вдвое. Докажите, что каждое Толино число не меньше любого Васиного.

Можно ли разбить клетчатую доску 12×12 на уголки из трёх соседних клеток так, чтобы каждый горизонтальный и каждый вертикальный ряд клеток доски пересекал одно и то же количество уголков? (Ряд пересекает уголок, если содержит хотя бы одну его клетку.)

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник <i>ABC</i> с гипотенузой <i>AB</i>, касается его сторон <i>BC, CA, AB</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ соответственно. Пусть <i>B</i>₁<i>H</i> – высота треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁. Докажите, что точка <i>H</i> лежит на биссектрисе угла <i>CAB</i>.

Даны натуральные числа <i>M</i> и <i>N</i>, большие десяти, состоящие из одинакового количества цифр и такие, что  <i>M</i> = 3<i>N</i>.  Чтобы получить число <i>M</i>, надо в числе <i>N</i> к одной из цифр прибавить 2, а к каждой из остальных цифр прибавить по нечётной цифре. Какой цифрой могло оканчиваться число <i>N</i>?

Петя расставляет в вершинах куба числа 1 и –1. Андрей вычисляет произведение четырёх чисел, стоящих в вершинах каждой грани куба, и записывает его в центре этой грани. Петя утверждает, что он сможет так расставить числа, что их сумма и сумма чисел, записанных Андреем, будут противоположными. Прав ли Петя?

На сторонах <i>АВ, ВС</i> и <i>АС</i> равностороннего треугольника <i>АВС</i> выбраны точки <i>K, M</i> и <i>N</i> соответственно так, что угол <i>MKB</i> равен углу <i>MNC</i>, а угол <i>KMB</i> равен углу <i>KNA</i>. Докажите, что <i>NB</i> – биссектриса угла <i>MNK</i>.

Решите уравнение:  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116928/problem_116928_img_2.gif">.

На турнир приехали школьники из разных городов. Один из организаторов заметил, что из них можно сделать 19 команд по 6 человек, и при этом еще менее четверти команд будут иметь по запасному игроку. Другой предложил сделать 22 команды по 5 или по 6 человек в каждой, и тогда более трети команд будут состоять из шести игроков. Сколько школьников приехало на турнир?

В треугольнике <i>ABC</i> медиана, проведённая из вершины <i>A</i> к стороне <i>BC</i>, в четыре раза меньше стороны <i>AB</i> и образует с ней угол 60°. Найдите угол <i>А</i>.

На доске записаны в ряд сто чисел, отличных от нуля. Известно, что каждое число, кроме первого и последнего, является произведением двух соседних с ним чисел. Первое число – это 7. Какое число последнее?

На какую наибольшую степень тройки делится произведение 3·33·333·...·3333333333 ?

В четырёхугольнике есть два прямых угла, а его диагонали равны. Верно ли, что он является прямоугольником?

Известно, что числа <i>а, b, c</i> и <i>d</i> – целые и  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116922/problem_116922_img_2.gif">.  Может ли выполняться равенство  <i>аbcd</i> = 2012?

В классе – 17 человек. Известно, что среди любых десяти есть хотя бы одна девочка, а мальчиков больше, чем девочек. Сколько девочек в этом классе?

На клетчатой бумаге нарисован квадрат 7×7. Покажите, как разрезать его по линиям сетки на шесть частей и сложить из них три квадрата.