Олимпиадные задачи по математике для 8 класса
Известно, что в трапецию можно вписать окружность.
Докажите, что окружности, построенные на боковых сторонах трапеции как на диаметрах, касаются друг друга. <small>Также доступны документы в формате TeX</small>
Из центра <i>O</i> правильного <i>n</i>-угольника <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A<sub>n</sub></i> проведены <i>n</i> векторов в его вершины. Даны такие числа <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>, что
<i>a</i><sub>1</sub> > <i>a</i><sub>2</sub> > ... > <i>a<sub>n</sub></i> > 0. Докажите, что линейная комбинация векторов <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/108112/problem_108112_img_2.gif"> отлична от нулевого вектора.
Во вписанном четырёхугольнике <i>ABCD</i> длины сторон <i>BC</i> и <i>CD</i> равны. Докажите, что площадь этого четырёхугольника равна ½ <i>AC</i>² sin∠<i>A</i>.
Четырёхугольник <i>ABCD</i> – ромб. На стороне <i>BC</i> взята точка <i>P</i>. Через точки <i>A, B</i> и <i>P</i> проведена окружность, которая пересекается с прямой <i>BD</i> ещё раз в точке <i>Q</i>. Через точки <i>C, P</i> и <i>Q</i> проведена окружность, которая пересекается с <i>BD</i> ещё раз в точке <i>R</i>. Докажите, что точки <i>A, R</i> и <i>P</i> лежат на одной прямой.
В треугольнике <i>ABC</i> проведена медиана <i>AM</i>.
Может ли радиус вписанной окружности треугольника <i>ABM</i> быть ровно в два раза больше радиуса вписанной окружности треугольника <i>ACM</i>?
Дано натуральное число <i>M</i>. Докажите, что существует число, кратное <i>M</i>, сумма цифр которого (в десятичной записи) нечётна.
Первого числа некоторого месяца в магазине было 10 видов товаров по одинаковой цене за штуку. После этого каждый день каждый товар дорожает либо в 2 раза, либо в 3 раза. Первого числа следующего месяца все цены оказались различными. Докажите, что отношение максимальной цены к минимальной больше 27.
Круг разбит на <i>n</i> секторов, в некоторых секторах стоят фишки – всего фишек <i>n</i> + 1. Затем позиция подвергается преобразованиям. Один шаг преобразования состоит в следующем: берутся какие-нибудь две фишки, стоящие в одном секторе, и переставляются в разные стороны в соседние секторы. Докажите, что через некоторое число шагов не менее половины секторов будет занято.
На доске выписаны числа 1, ½, ⅓, ..., <sup>1</sup>/<sub>100</sub>. Выбираем из написанных на доске два произвольных числа <i>a</i> и <i>b</i>, стираем их и пишем на доску число
<i>a + b + ab</i>. Такую операцию проделываем 99 раз, пока не останется одно число. Какое это число? Найдите его и докажите, что оно не зависит от последовательности выбора чисел.
Докажите, что произведение 99 дробей <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98085/problem_98085_img_2.gif"> где <i>k</i> = 2, 3, ..., 100, больше ⅔.
В ряд стоят 30 сапог: 15 левых и 15 правых. Докажите, что среди некоторых десяти подряд стоящих сапог левых и правых поровну.
Имеется <i>n</i> целых чисел (<i>n</i> > 1). Известно, что каждое из них отличается от произведения всех остальных на число, кратное <i>n</i>.
Докажите, что сумма квадратов этих чисел делится на <i>n</i>.
Хозяйка испекла для гостей пирог. За столом может оказаться либо <i>p</i> человек, либо <i>q</i> (<i>p</i> и <i>q</i> взаимно просты). На какое минимальное количество кусков (не обязательно равных) нужно заранее разрезать пирог, чтобы в любом случае его можно было раздать поровну?
Рассматривается набор гирь, каждая из которых весит целое число граммов, а общий вес всех гирь равен 500 граммов. Такой набор называется <i>правильным</i>, если любое тело, имеющее вес, выраженный целым числом граммов от 1 до 500, может быть уравновешено некоторым количеством гирь набора, и притом единственным образом (тело кладётся на одну чашку весов, гири – на другую; два способа уравновешивания, различающиеся лишь заменой некоторых гирь на другие того же веса, считаются одинаковыми).
а) Приведите пример правильного набора, в котором не все гири по одному грамму.
б) Сколько существует различных правильных наборов?
(Два набора различны, если некоторая гиря участвует в этих наборах не одинаковое число раз.)
Докажите, что при любом натуральном <i>n</i> найдётся ненулевой многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) с коэффициентами, равными 0, –1, 1, степени не больше 2<sup><i>n</i></sup>, который делится на
(<i>x</i> – 1)<sup><i>n</i></sup>.
Даны 103 монеты одинакового внешнего вида. Известно, что две из них – фальшивые, что все настоящие одинакового веса, что фальшивые – тоже одинакового веса, отличающегося от веса настоящих монет. Но неизвестно, в какую сторону отличаются веса фальшивых монет от настоящих. Как можно это узнать с помощью трёх взвешиваний на двухчашечных весах без гирь? (Отделить фальшивые монеты не требуется.)
Рассматривается набор гирь, каждая из которых весит целое число граммов, а общий вес всех гирь равен 200 граммов. Такой набор называется <i>правильным</i>, если любое тело, имеющее вес, выраженный целым числом граммов от 1 до 200, может быть уравновешено некоторым количеством гирь набора, и притом единственным образом (тело кладётся на одну чашку весов, гири - на другую; два способа уравновешивания, различающиеся лишь заменой некоторых гирь на другие того же веса, считаются одинаковыми).
а) Приведите пример правильного набора, в котором не все гири по одному грамму.
б) Сколько существует различных правильных наборов? (Два набора различны, если некоторая гиря участвует в этих наборах не одинаковое число раз.)
Сколько существует таких пар натуральных чисел (<i>m, n</i>), каждое из которых не превышает 1000, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98049/problem_98049_img_2.gif">
Дана 61 монета одинакового внешнего вида. Известно, что две из них – фальшивые, что все настоящие одинакового веса, что фальшивые – тоже одинакового веса, отличающегося от веса настоящих монет. Но неизвестно, в какую сторону отличаются веса фальшивых монет от настоящих. Как можно это узнать с помощью трёх взвешиваний на двухчашечных весах без гирь? (Определить фальшивые монеты не требуется.)
На плоскости дано <i>N</i> прямых (<i>N</i> > 1), никакие три из которых не пересекаются в одной точке и никакие две не параллельны. Докажите, что в частях, на которые эти прямые разбивают плоскость, можно расставить ненулевые целые числа, по модулю не превосходящие <i>N</i>, так, что суммы чисел по любую сторону от любой из данных прямых равны нулю.
Найти шесть различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых делится на сумму этих двух чисел.
Выпуклый <i>n</i>-угольник разрезан непересекающимися диагоналями на треугольники. Разрешается проделывать следующее преобразование (<i>перестройку</i>): взяв пару треугольников <i>ABD</i> и <i>BCD</i> с общей стороной, заменить их на треугольники <i>ABC</i> и <i>ACD</i>. Пусть <i>P</i>(<i>n</i>) – наименьшее число перестроек, за которое можно перевести каждое разбиение в любое. Докажите, что
а) <i>P</i>(<i>n</i>) ≥ <i>n</i> – 3;
б) <i>P</i>(<i>n</i>) ≤ 2<i>n</i> – 7;
в) <i>P</i>(<i>n</i>) ≤ 2<i>n</i> – 10 при <i>n</i> ≥ 13.
Каждый член последовательности, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему числу его суммы цифр. Первым членом последовательности является единица. Встретится ли в последовательности число 123456?