Олимпиадная задача по многочленам и индукции для 8–10 классов от Фомина Д.
Задача
Докажите, что при любом натуральном n найдётся ненулевой многочлен P(x) с коэффициентами, равными 0, –1, 1, степени не больше 2n, который делится на
(x – 1)n.
Решение
Положим P1(x) = x – 1, Pn+1(x) = (x2n – 1)Pn(x). Докажем, что эти многочлены обладают требуемыми свойствами. Легко проверить, что deg Pn = 2n – 1. Коэффициенты Pn+1 – это два непересекающихся набора коэффициентов Pn, следовательно, так же как и у P1, они равны ±1. Pn делится на (x – 1)n, так как x2k – 1 делится на x – 1.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет