Олимпиадные задачи по математике для 9 класса - сложность 2 с решениями

Натуральные числа <i>a, b</i> и <i>c</i>, где <i>c</i> ≥ 2, таковы, что  ¹/_<i>a</i> + ¹/_<i>b</i> = ¹/_<i>c</i>.  Докажите, что хотя бы одно из чисел  <i>a + c,  b + c</i> – составное.

Найдите все такие тройки простых чисел <i>p, q, r</i>, что четвёртая степень каждого из них, уменьшенная на 1, делится на произведение двух остальных.

Для натурального  <i>n</i> > 3  будем обозначать через <i>n</i>? (<i>n-вопросиал</i>) произведение всех простых чисел, меньших <i>n</i>. Решите уравнение  <i>n</i>? = 2<i>n</i> + 16.

Числа <i>a, b, c</i> таковы, что  <i>a</i>²(<i>b + c</i>) = <i>b</i>²(<i>a + c</i>) = 2008  и  <i>a ≠ b</i>.  Найдите значение выражения  <i>c</i>²(<i>a + b</i>).

Для вещественных  <i>x > y</i> > 0  и натуральных  <i>n > k</i>  докажите неравенство  (<i>x^k – y^k</i>)^<i>n</i> < (<i>xⁿ – yⁿ</i>)^<i>k</i>.

В вершинах кубика написали числа от 1 до 8, а на каждом ребре – модуль разности чисел, стоящих в его концах. Какое наименьшее количество различных чисел может быть написано на ребрах?

Рассматриваются 2000 чисел: 11, 101, 1001, ... . Докажите, что среди этих чисел не менее 99% составных.

Отрезки <i>AB</i> и <i>CD</i> лежат на двух сторонах угла <i>BOD</i> (<i>A</i> лежит между <i>O</i> и <i>B, C</i> – между <i>O</i> и <i>D</i>). Через середины отрезков <i>AD</i> и <i>BC</i> проведена прямая, пересекающая стороны угла в точках <i>M</i> и <i>N</i> (<i>M, A</i> и <i>B</i> лежат на одной стороне угла; <i>N, C</i> и <i>D</i> – на другой). Докажите, что

<i>OM</i> : <i>ON = AB</i> : <i>CD</i>.

Найдите все целые числа <i>x</i> и <i>y</i>, удовлетворяющие уравнению  <i>x</i>⁴ – 2<i>y</i>² = 1.

Пусть <i>a, b, c</i> – стороны треугольника. Докажите неравенство  <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + 3<i>abc > c</i>³.

Приведите пример многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) степени 2001, для которого  <i>P</i>(<i>x</i>) + <i>P</i>(1 – <i>x</i>) ≡ 1.

<i>a, b, c</i> – стороны треугольника. Докажите неравенство   <img align="middle" src="/storage/problem-media/105065/problem_105065_img_2.gif">

Найдите какие-нибудь четыре попарно различных натуральных числа <i>a, b, c, d</i>, для которых числа  <i>a</i>² + 2<i>cd + b</i>²  и  <i>c</i>² + 2<i>ab + d</i>²  являются полными квадратами.

Cлава перемножил первые <i>n</i> натуральных чисел, а Валера перемножил первые <i>m</i> чётных натуральных чисел (<i>n</i> и <i>m</i> больше 1). В результате у них получилось одно и то же число. Докажите, что хотя бы один из мальчиков ошибся.

Натуральные числа <i>a, b, c, d</i> таковы, что наименьшее общее кратное этих чисел равно  <i>a + b + c + d</i>.

Докажите, что <i>abcd</i> делится на 3 или на 5 (или на то и другое).

Рассматриваются тройки целых чисел <i>a, b</i> и <i>c</i>, для которых выполнено условие:  <i>a + b + c</i> = 0.  Для каждой такой тройки вычисляется число

<i>d = a</i>¹⁹⁹⁹ + <i>b</i>¹⁹⁹⁹ + <i>c</i>¹⁹⁹⁹.   Может ли случиться, что

  а)  <i>d</i> = 2?

  б) <i>d</i> – простое число?

В ряд стоят 1999 чисел. Первое число равно 1. Известно, что каждое число, кроме первого и последнего, равно сумме двух соседних.

Найдите последнее число.

Существуют ли три таких различных простых числа <i>p, q, r</i>, что  <i>p</i>² + <i>d</i>  делится на <i>qr,  q</i>² + <i>d</i>  делится на <i>rp,  r</i>² + <i>d</i>  делится на <i>pq</i>, если

  а)  <i>d</i> = 10,

  б)  <i>d</i> =11?

Докажите, что число вида <i>a</i>0...09 – не полный квадрат (при любом числе нулей, начиная с одного; <i>a</i> – цифра, отличная от 0).  

Докажите, что число 40...09 – не полный квадрат (при любом числе нулей, начиная с 1).

Докажите, что произведение всех целых чисел от  2¹⁹¹⁷ + 1  до  2¹⁹⁹¹ – 1  включительно не есть квадрат целого числа.

Даны три неотрицательных числа <i>a, b, c</i>. Про них известно, что   <i>a</i>⁴ + <i>b</i>⁴ + <i>c</i>⁴ ≤ 2(<i>a</i>²<i>b</i>² + <i>b</i>²<i>c</i>² + <i>c</i>²<i>a</i>²).

  а) Докажите, что каждое из них не больше суммы двух других.

  б) Докажите, что   <i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² ≤ 2(<i>ab + bc + ca</i>).

  в) Следует ли из неравенства пункта б) исходное неравенство?

Назовём натуральное число <i>почти квадратом</i>, если оно равно произведению двух последовательных натуральных чисел.

Докажите, что каждый почти квадрат можно представить в виде частного двух почти квадратов.

Целые числа <i>a, x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x</i>₁₃ таковы, что  <i>a</i> = (1 + <i>x</i>₁)(1 + <i>x</i>₂)...(1 + <i>x</i>₁₃) = (1 – <i>x</i>₁)(1 – <i>x</i>₂)...(1 – <i>x</i>₁₃).  Докажите, что  <i>ax</i>₁<i>x</i>₂...<i>x</i>₁₃ = 0.

Существует ли такое натуральное <i>n</i>, что для любых ненулевых цифр <i>a</i> и <i>b</i> число  <span style="text-decoration: overline;"><i>anb</i></span>  делится на  <span style="text-decoration: overline;"><i>ab</i></span> ?  (Через  <span style="text-decoration: overline;"><i>x...y</i></span>  обозначено число, получаемое приписыванием друг к другу десятичных записей чисел <i>x, ..., y</i>.)