Олимпиадная задача по теории чисел: произведение от 2^1917+1 до 2^1991–1 не является квадратом

Решение 1:Разобьём числа от 1 до 2ⁿ на пары вида  {a, 2ⁿ – a}  (без пары останутся числа 2ⁿ и 2^n–1). Ясно, что в каждой паре оба числа делятся на одинаковую степень двойки. Следовательно, в разложение числа (2ⁿ)! двойка входит в нечётной степени. Произведение из условия равно     значит, двойка входит в его разложение в нечётной степени.

Решение 2:Согласно постулату Бертрана (см. решение задачи 173658) в интервале между 2¹⁹⁹⁰ и 2¹⁹⁹¹ лежит некоторое простое число p. Так как  2p > 2¹⁹⁹¹,  то произведение из условия делится на p, но не делится на p².

Ответ задачи отсутствует