Олимпиадная задача по математике: тройки целых чисел, делимость и многочлены (8-9 класс)

Решение 1:   Заметим, что  a¹⁹⁹⁹ – a = a(a¹⁹⁹⁸ – 1)  делится на  a(a² – 1) = (a – 1)a(a + 1),  а произведение трёх последовательных чисел делится на 6. Поэтому и

d = a¹⁹⁹⁹ + b¹⁹⁹⁹ + c¹⁹⁹⁹ – (a + b + c) = (a¹⁹⁹⁹ – a) + (b¹⁹⁹⁹ – b) + (c¹⁹⁹⁹ – c)  тоже делится на 6.

Решение 2:   б) Чётности сумм  a + b + c  и  a¹⁹⁹⁹ + b¹⁹⁹⁹ + c¹⁹⁹⁹  одинаковы: они составлены из слагаемых одинаковой чётности. Поэтому d чётно. Чётное простое – это 2. Таким образом, пункт б) сводится к пункту а).   а) Пусть a, b и c чётны. Тогда d делится на 2¹⁹⁹⁹ и, значит, не равно 2.

  Пусть два числа (например, a и b) нечётны, а третье чётно. Заметим, что d делится на a (так как  b¹⁹⁹⁹ + c¹⁹⁹⁹  делится на  b + c = – a).  Значит,  |a| = 1.  Аналогично  |b| = 1.  Но d не равно 2 ни в одном из случаев  a = b = 1,  с = –2;  a = b = –1,  с = 2;   a = – b = ±1,  с = 0.

Не может.