Олимпиадные задачи из источника «2000-2001» - сложность 4 с решениями
2000-2001
НазадСаша написал на доске ненулевую цифру и приписывает к ней справа по одной ненулевой цифре, пока не выпишет миллион цифр. Докажите, что на доске не более 100 раз был написан точный квадрат.
На окружности расположена тысяча непересекающихся дуг, и на каждой из них написаны два натуральных числа. Сумма чисел каждой дуги делится на произведение чисел дуги, следующей за ней по часовой стрелке. Каково наибольшее возможное значение наибольшего из написанных чисел?
На плоскости дано бесконечное множество точек<i> S </i>, при этом в любом квадрате1×1лежит конечное число точек из множества<i> S </i>. Докажите, что найдутся две разные точки<i> A </i>и<i> B </i>из<i> S </i>такие, что для любой другой точки<i> X </i>из<i> S </i>выполняются неравенства: <center><i>
|XA|,|XB|<img src="/storage/problem-media/110060/problem_110060_img_2.gif"> </i>0<i>,</i>999<i>|AB|. </i></center>
Найдите все такие нечётные натуральные <i>n</i> > 1, что для любых взаимно простых делителей <i>a</i> и <i>b</i> числа <i>n</i> число <i>a + b</i> – 1 также является делителем <i>n</i>.
Два многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i><sup>4</sup> + <i>ax</i>³ + <i>bx</i>² + <i>cx + d</i> и <i>Q</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>px + q</i> принимают отрицательные значения на некотором интервале <i>I</i> длины более 2, а вне <i>I</i> – неотрицательны. Докажите, что найдётся такая точка <i>x</i><sub>0</sub>, что <i>P</i>(<i>x</i><sub>0</sub>) < <i>Q</i>(<i>x</i><sub>0</sub>).
Найдите все такие натуральные числа <i>n</i>, что для любых двух его взаимно простых делителей <i>a</i> и <i>b</i> число <i>a + b</i> – 1 также является делителем <i>n</i>.
В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены дорогами, причём между каждыми двумя городами существует единственный несамопересекающийся путь по дорогам. Известно, что в стране ровно 100 городов, из которых выходит по одной дороге. Докажите, что можно построить 50 новых дорог так, что после этого даже при закрытии любой дороги можно будет из каждого города попасть в любой другой.
Сфера с центром в плоскости основания<i> ABC </i>тетраэдра<i> SABC </i>проходит через вершины<i> A </i>,<i> B </i>и<i> C </i>и вторично пересекает ребра<i> SA </i>,<i> SB </i>и<i> SC </i>в точках<i> A</i>1,<i> B</i>1и<i> C</i>1соответственно. Плоскости, касающиеся сферы в точках<i> A</i>1,<i> B</i>1и<i> C</i>1, пересекаются в точке<i> O </i>. Докажите, что<i> O </i>– центр сферы, описанной около тетраэдра<i> SA</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1.
В стране 2001 город, некоторые пары городов соединены дорогами, причём из каждого города выходит хотя бы одна дорога и нет города, соединённого дорогами со всеми остальными. Назовём множество городов <i>D доминирующим</i>, если каждый не входящий в <i>D</i> город соединён дорогой с одним из городов множества <i>D</i>. Известно, что в каждом доминирующем множестве хотя бы <i>k</i> городов. Докажите, что страну можно разбить на 2001 – <i>k</i> республик так, что никакие два города из одной республики не будут соединены дорогой.
Участникам тестовой олимпиады было предложено <i>n</i> вопросов. Жюри определяет сложность каждого из вопросов: целое положительное количество баллов, получаемых участниками за правильный ответ на вопрос. За неправильный ответ начисляется 0 баллов, все набранные участником баллы суммируются. Когда все участники сдали листки со своими ответами, оказалось, что жюри так может определить сложность вопросов, чтобы места между участниками распределились любым наперед заданным образом. При каком наибольшем числе участников это могло быть?
Пусть 2<i>S</i> – суммарный вес некоторого набора гирек. Назовём натуральное число <i>k средним</i>, если в наборе можно выбрать <i>k</i> гирек, суммарный вес которых равен <i>S</i>. Какое наибольшее количество средних чисел может иметь набор из 100 гирек?
Пусть<i> AD </i>– биссектриса треугольника<i> ABC </i>и прямая<i> l </i>касается окружностей, описанных около треугольников<i> ADB </i>и<i> ADC </i>, в точках<i> M </i>и<i> N </i>соответственно. Докажите, что окружность, проходящая через середины отрезков<i> BD </i>,<i> DC </i>и<i> MN </i>касается прямой<i> l </i>.
В параллелограмме<i> ABCD </i>на диагонали<i> AC </i>отмечена точка<i> K </i>. Окружность<i> s</i>1проходит через точку<i> K </i>и касается прямых<i> AB </i>и<i> AD </i>, причём вторая точка пересечения<i> s</i>1с диагональю<i> AC </i>лежит на отрезке<i> AK </i>. Окружность<i> s</i>2проходит через точку<i> K </i>и касается прямых<i> CB </i>и<i> CD </i>, причём вторая точка пересечения<i> s</i>2с диагональю<i> AC </i>лежит на отрезке<i> KC </i>. Докажите, что при всех положениях точки<i> K </i>на диагонали<i> AC </i>прямые, соединяющие центры окружностей<i> s&...
На высотах (но не на их продолжениях) остроугольного треугольника<i> ABC </i>взяты точки<i> A</i>1,<i> B</i>1,<i> C</i>1, отличные от точки пересечения высот<i> H </i>, причём сумма площадей треугольников<i> ABC</i>1,<i> BCA</i>1,<i> CAB</i>1равна площади треугольника<i> ABC </i>. Докажите, что окружность, описанная около треугольника<i> A</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1, проходит через точку<i> H </i>.
Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке<i> N </i>. Касательная к внутренней окружности, проведённая в точке<i> K </i>, пересекает внешнюю окружность в точках<i> A </i>и<i> B </i>. Пусть<i> M </i>– середина дуги<i> AB </i>, не содержащей точку<i> N </i>. Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника<i> BMK </i>, не зависит от выбора точки<i> K </i>на внутренней окружности.