Олимпиадная задача Кузнецова: максимальное количество средних чисел для 100 гирек

  Заметим, что, если число m является средним, то число  100 – m  также является средним. Поэтому если число 1 не является средним, то число 99 также не является средним, и количество средних чисел не больше 97 (число 100 тоже средним не является). Если же число 1 является средним, то вес одной из гирек равен S и, следовательно, только 99 также является средним числом. Значит, количество средних чисел не превосходит 97.

  Приведём пример набора из 100 гирек с весами a₁, ..., a₁₀₀, для которого все числа от 2 до 98 (всего 97 чисел) – средние.

Пусть  a₁ = a₂ = 1,  a_n+2 = a_n + a_n+1,  n = 1, 2, ..., 97,  – последовательные числа Фибоначчи и  S = a₁ + a₂ + ... + a₉₈.  Выберем  a₁₀₀ = S – a₉₉.  Тогда суммарный вес всех гирек равен 2S и, в то же время,

a₁₀₀ + a₉₉ = a₁₀₀ + a₉₈ + a₉₇ = a₁₀₀ + a₉₈ + a₉₆ + a₉₅ = a100 + a₉₈ + a₉₆ + a₉₄ + a₉₃ = ... = a₁₀₀ + a₉₈ + a₉₆ + a₉₄ + a₉₂ + a₉₀ + ... + a₆ + a₄ + a₂ + a₁ = S.

  Следовательно, средними являются числа 2, 3, 4, ..., 51. Но тогда средними будут и числа  100 – 2 = 98,  100 – 3 = 97,  ...,  100 – 48 = 52,  то есть все числа от 2 до 98 – средние.