Олимпиадная задача: Множество точек на плоскости, планиметрия и доказательство

Докажем утверждение задачи от противного. Можно предположить, что для любых двух разных точек A и B из S найдется отличная от них точка X из S такая, что либо |XA| < 0,999 |AB| , либо |XB| < 0,999 |AB| . Переформулируем вышеприведенное утверждение: для любого отрезка I с концами в S и длиной l найдется отрезок I' с концами в S длины не более0,999l , один из концов которого совпадает с некоторым концом отрезка I . Или, иначе говоря, I' пересекает I . Возьмем теперь первый отрезок I₁ длины l и будем брать отрезки I2, I3, так, что I_k+1пересекается с I_k и |I_k+1| < 0,999 |I_k| . Все эти отрезки имеют концы в S . Ломаная не короче отрезка, соединяющего ее концы, поэтому расстояние от любого конца I_k до любого конца I₁ не превосходит

l + 0,999 l + .. + 0,999^k l = l < 1000 l.

Следовательно, в квадрате2000l×2000l с центром в любом из концов I₁ лежит бесконечное число точек S . Но из условия следует конечность их числа в любом квадрате. Полученное противоречие завершает доказательство.

Ответ задачи отсутствует