Назад

Олимпиадная задача по планиметрии: окружность, высоты и точка H в треугольнике, 8-10 класс

Задача 208143 • Сложность: 4 • 8-10 класс
Задача

На высотах (но не на их продолжениях) остроугольного треугольника ABC взяты точки A1, B1, C1, отличные от точки пересечения высот H , причём сумма площадей треугольников ABC1, BCA1, CAB1равна площади треугольника ABC . Докажите, что окружность, описанная около треугольника A1B1C1, проходит через точку H .

Решение
Пусть окружность, проходящая через точки H , A1и B1, пересекает второй раз прямую CH в точке C1' . Достаточно доказать, что C1' совпадает с C1.

Рассмотрим точку F , диаметрально противоположную точке H . Точки A1, B1и C1' лежат на окружности с диаметром HF , значит, углы HA1F , HB1F и HC1'F – прямые. Поэтому A1F || BC , B1F || AC и C1'F || AB . Поскольку у треугольников BFC и BA1C общее основание BC и равные высоты, опущенные на это основание, то SΔ BFC = SΔ BA1C . Аналогично, SΔ AFC = SΔ AB1C и SΔ AFB = SΔ AC1'B .

Заметим, что точка F лежит внутри треугольника ABC : поскольку A1и B1лежат на высотах, а не на их продолжениях, точка F лежит внутри угла ACB ; если бы при этом она лежала вне треугольника ABC , то сумма площадей SΔ AFC +SΔ BFC = SΔ AB1C+SΔ BA1C была бы больше площади треугольника ABC , что противоречило бы условию задачи.

Поскольку

SΔ ABC = SΔ AFB +SΔ BFC+SΔ CFA = SΔ AC1B +SΔ BA1C+SΔ CB1A

и

SΔ ABC = SΔ AFB +SΔ BFC+SΔ CFA = SΔ AC1'B +SΔ BA1C+SΔ CB1A,

то SΔ AC1'B=SΔ AC1B , откуда следует совпадение точек C1' и C1.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет