Олимпиадные задачи из источника «1999-2000» для 10 класса - сложность 2-5 с решениями

В стране 2000 городов. Каждый город связан беспосадочными двусторонними авиалиниями с некоторыми другими городами, причём для каждого города число исходящих из него авиалиний есть степень двойки (то есть 1, 2, 4, 8, ...). Для каждого города <i>A</i> статистик подсчитал количество маршрутов, имеющих не более одной пересадки, связывающих <i>A</i> с другими городами, а затем просуммировал полученные результаты по всем 2000 городам. У него получилось 100000. Докажите, что статистик ошибся.

Путь от платформы <i>A</i> до платформы <i>B</i> электропоезд прошел за <i>X</i> минут  (0 < <i>X</i> < 60).  Найдите <i>X</i>, если известно, что как в момент отправления от <i>A</i>, так и в момент прибытия в <i>B</i> угол между часовой и минутной стрелками равнялся <i>X</i> градусам.

Ненулевые числа <i>a</i> и <i>b</i> удовлетворяют равенству  <i>a</i>²<i>b</i>²(<i>a</i>²<i>b</i>² + 4) = 2(<i>a</i>⁶ + <i>b</i>⁶).  Докажите, что хотя бы одно из них иррационально.

Клетки таблицы 200×200 окрашены в чёрный и белый цвета так, что чёрных клеток на 404 больше, чем белых.

Докажите, что найдётся квадрат 2×2, в котором число белых клеток нечётно.

В таблице 99×101 расставлены кубы натуральных чисел, как показано на рисунке. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/110043/problem_110043_img_2.gif"></div>Докажите, что сумма всех чисел в таблице делится на 200.

На прямой имеется2<i>n+</i>1отрезок. Любой отрезок пересекается по крайней мере с<i> n </i>другими. Докажите, что существует отрезок, пересекающийся со всеми остальными.

В стране 2000 городов, некоторые пары городов соединены дорогами. Известно, что через любой город проходит не более <i>N</i> различных несамопересекающихся циклических маршрутов нечётной длины. Докажите, что страну можно разделить на  2<i>N</i> + 2  республики так, чтобы никакие два города из одной республики не были соединены дорогой.

По данному натуральному числу <i>a</i>₀ строится последовательность {<i>a_n</i>} следующим образом   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110036/problem_110036_img_2.gif">   если <i>a_n</i> нечётно, и ^<i>a</i>₀/₂, если <i>a_n</i> чётно. Докажите, что при любом нечётном  <i>a</i>₀ > 5  в последовательности {<i>a_n</i>} встретятся сколь угодно большие числа.

Существует ли функция<i> f</i>(<i>x</i>), определенная при всех<i> x<img src="/storage/problem-media/110035/problem_110035_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/110035/problem_110035_img_3.gif"> </i>и для всех<i> x,y<img src="/storage/problem-media/110035/problem_110035_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/110035/problem_110035_img_3.gif"> </i>удовлетворяющая неравенству <center><i>

|f</i>(<i>x+y</i>)<i>+ sin x+ sin y|<</i>2<i>? </i></center>

При каком наименьшем <i>n</i> квадрат <i>n</i>×<i>n</i> можно разрезать на квадраты 40×40 и 49×49 так, чтобы квадраты обоих видов присутствовали?

Рассматриваются 2000 чисел: 11, 101, 1001, ... . Докажите, что среди этих чисел не менее 99% составных.

В стране 2000 городов, некоторые пары городов соединены дорогами. Известно, что через любой город проходит не более <i>N</i> различных несамопересекающихся циклических маршрутов нечётной длины. Докажите, что страну можно разделить на  <i>N</i> + 2  республики так, чтобы никакие два города из одной республики не были соединены дорогой.

Для неотрицательных чисел <i>x</i> и <i>y</i>, не превосходящих 1, докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110027/problem_110027_img_2.gif">

Последовательность<i> a</i>1<i>, a</i>2<i>,..,a</i>2000действительных чисел такова, что для любого натурального<i> n </i>,1<i><img src="/storage/problem-media/110026/problem_110026_img_2.gif"> n<img src="/storage/problem-media/110026/problem_110026_img_2.gif"></i>2000, выполняется равенство <center><i>

a</i>1<i></i>3<i>+a</i>2<i></i>3<i>+..+a_n</i>3<i>=</i>(<i>a</i>1<i>+a</i>2<i>+..+a_n</i>)<i></i>2<i>.

</i></center> Докажите, что все члены этой последовательности – целые числа.

Высота и радиус основания цилиндра равны 1. Каким наименьшим числом шаров радиуса 1 можно целиком покрыть этот цилиндр?

Докажите, что можно выбрать такие различные действительные числа  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₁₀,  что уравнение

(<i>x – a</i>₁)(<i>x – a</i>₂)...(<i>x – a</i>₁₀) = (<i>x + a</i>₁)(<i>x + a</i>₂)...(<i>x + a</i>₁₀)  будет иметь ровно пять различных действительных корней.

По окружности расставлено 100 натуральных чисел, взаимно простых в совокупности. Разрешается прибавлять к любому числу наибольший общий делитель его соседей. Докажите, что при помощи таких операций можно сделать все числа попарно взаимно простыми.

На доску последовательно выписываются числа  <i>a</i>₁ = 1,  <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ... по следующим правилам: <i>a</i>_<i>n</i>+1 = <i>a_n</i> – 2,  если число  <i>a_n</i> – 2  – натуральное и еще не выписано на доску, в противном случае  <i>a</i>_<i>n</i>+1 = <i>a_n</i> + 3.  Докажите, что все квадраты натуральных чисел появятся в этой последовательности при прибавлении 3 к предыдущему числу.

В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены дорогами. При этом из каждого города выходит хотя бы три дороги.

Докажите, что существует циклический маршрут, длина которого не делится на 3.

Таня задумала натуральное число  <i>X</i> ≤ 100,  а Саша пытается его угадать. Он выбирает пару натуральных чисел <i>M</i> и <i>N</i>, меньших 100, и задаёт вопрос: "Чему равен наибольший общий делитель  <i>X + M</i>  и <i>N</i>?" Докажите, что Саша может угадать Танино число, задав семь таких вопросов.

На прямоугольном столе лежат равные картонные квадраты<i> n </i>различных цветов со сторонами, параллельными сторонам стола. Если рассмотреть любые<i> n </i>квадратов различных цветов, то какие-нибудь два из них можно прибить к столу одним гвоздем. Докажите, что все квадраты некоторого цвета можно прибить к столу2<i>n-</i>2гвоздями.

Совершенное число, большее 6, делится на 3. Докажите, что оно делится на 9.

Имеются пять внешне одинаковых гирь с попарно различными массами. Разрешается выбрать любые три из них <i>A</i>, <i>B</i> и <i>C</i> и спросить, верно ли, что

<i>m</i>(<i>A</i>) < <i>m</i>(<i>B</i>) < <i>m</i>(<i>C</i>)  (через <i>m</i>(<i>x</i>) обозначена масса гири <i>x</i>). При этом даётся ответ "Да" или "Нет". Можно ли за девять вопросов гарантированно узнать, в каком порядке идут веса гирь?

Пусть  –1 < <i>x</i>₁ < <i>x</i>₂ < ... < <i>x_n</i> < 1  и   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109716/problem_109716_img_2.gif">

Докажите, что если  <i>y</i>₁ < <i>y</i>₂ < ... < <i>y_n</i>,  то   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109716/problem_109716_img_3.gif">

Найдите сумму <center> <img src="/storage/problem-media/109715/problem_109715_img_2.gif">

</center>