Назад

Олимпиадная задача по последовательностям и индукции для 8-10 классов от Тухвебера С.

Задача 210026 • Сложность: 3 • 8-10 класс
Задача

Последовательность a1, a2,..,a2000действительных чисел такова, что для любого натурального n ,1 n2000, выполняется равенство

a13+a23+..+an3=(a1+a2+..+an)2.

Докажите, что все члены этой последовательности – целые числа.

Авторы:
Тухвебер С.
Разделы:
Последовательности Индукция
Источники:
Олимпиады и турниры Всероссийская олимпиада по математике 1999-2000 Региональный этап
Количество версий:
5
Решение

Докажем индукцией по n , что при любом n сумма Sn=a1+...+ an представима в виде bn(bn+1), где bn – целое.

База индукции: a13=a12 S1=a1=0или 1, т.е. S1=·0·1или S1=·1·2.

Индуктивный переход: Sn+12=(a1+...+ an+an+1)2=(Sn+an+1)2= Sn2+2Snan+1+an+12, с другой стороны(a1+...+ an+1)2=a13+...+ an3+an+13=(a1+...+ an)2+an+13= Sn2+an+13. Отсюда2Snan+1+an+12=an+13, т.е. либо an+1=0и тогда Sn+1=Sn=bn(bn+1), либо2Sn+ an+1=an+12 bn(bn+1)+an+1-an+12=0, т.е. an+1=bn+1или an+1=-bn . В этих случаях Sn+1=bn(bn+1)+bn+1=(bn+1)(bn+2)или Sn+1=bn(bn+1)-bn =(bn-1)bn .

Итак, при каждом n сумма Sn – целая, что равносильно условию задачи.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет