Олимпиадная задача по комбинаторной геометрии: чёрные и белые клетки в таблице 200×200

  Предположим, что в любом квадрате 2×2 чётное число белых клеток. Тогда если верхние клетки квадрата окрашены одинаково, то и нижние клетки окрашены одинаково, а если верхние клетки окрашены по-разному, то и нижние окрашены по-разному.

  Рассмотрим верхнюю строку таблицы и строку, стоящую под ней. Из сказанного следует, что эти строки либо окрашены одинаково (если их первые клетки окрашены одинаково), либо окрашены так, что под белой клеткой находится черная, а под чёрной – белая (если их первые клетки окрашены по-разному). Аналогичное утверждение справедливо для любых двух подряд идущих строк.

  Следовательно, в нашей таблице есть только два типа строк: первая строка и строка, полученная из нее перекрашиванием клеток в противоположный цвет.

  Пусть в первой строке a чёрных клеток, и строк такого типа в нашей таблице b. Тогда число чёрных клеток в таблице равно &nbspab + (200 – a)(200 – b),  а белых клеток –  a(200 – b) + b(200 – a).

  Их разность по условию равна 404, то есть  4ab – 2·200(a + b) + 200² = 404,  откуда  (a – 100)(b – 100) = 101.

  Так как  |a – 100| ≤ 100,  |b – 100| ≤ 100,  а 101 – простое число, то последнее уравнение не имеет решений в натуральных числах. Противоречие.

Ответ задачи отсутствует