Олимпиадные задачи из источника «1998-1999» для 10 класса - сложность 3-4 с решениями

Из 54 одинаковых единичных картонных квадратов сделали незамкнутую цепочку, соединив их шарнирно вершинами. Каждый квадрат (кроме крайних) соединён с соседями двумя противоположными вершинами. Можно ли этой цепочкой квадратов полностью закрыть поверхность куба 3×3×3?

Имеется 40 одинаковых газовых баллонов, значения давления газа в которых нам неизвестны и могут быть различны. Разрешается соединять любые баллоны друг с другом в количестве, не превосходящем заданного натурального числа <i>k</i>, а затем разъединять их; при этом давление газа в соединяемых баллонах устанавливается равным среднему арифметическому давлений в них до соединения. При каком наименьшем <i>k</i> существует способ уравнивания давлений во всех 40 баллонах независимо от первоначального распределения давлений в баллонах?

Лабиринт представляет собой квадрат 8×8, в каждой клетке 1×1 которого нарисована одна из четырёх стрелок (вверх, вниз, вправо, влево). Верхняя сторона правой верхней клетки – выход из лабиринта. В левой нижней клетке находится фишка, которая каждым своим ходом перемещается на одну клетку в направлении, указанном стрелкой. После каждого хода стрелка в клетке, в которой только что была фишка, поворачивается на 90° по часовой стрелке. Если фишка должна сделать ход, выводящий ее за пределы квадрата 8×8, она остается на месте, а стрелка также поворачивается на 90° по часовой стрелке. Докажите, что рано или поздно фишка выйдет из лабиринта.

Произведение положительных чисел <i>x, y</i> и <i>z</i> равно 1.

Докажите, что если  ¹/_<i>x</i> + ¹/_<i>y</i> + ¹/<i>_z ≥ x + y + z</i>,  то для любого натурального <i>k</i> выполнено неравенство  <i>x^–k + y^–k + z^–k ≥ x^k + y^k + z^k</i>.

Некоторые натуральные числа отмечены. Известно, что на каждом отрезке числовой прямой длины 1999 есть отмеченное число.

Докажите, что найдётся пара отмеченных чисел, одно из которых делится на другое.

Каждый голосующий на выборах вносит в избирательный бюллетень фамилии<i> n </i>кандидатов. На избирательном участке находится<i> n+</i>1урна. После выборов выяснилось, что в каждой урне лежит по крайней мере один бюллетень и при всяком выборе(<i>n+</i>1)-го бюллетеня по одному из каждой урны найдется кандидат, фамилия которого встречается в каждом из выбранных бюллетеней. Докажите, что по крайней мере в одной урне все бюллетени содержат фамилию одного и того же кандидата.

В пространстве даны<i> n </i>точек общего положения (никакие три не лежат на одной прямой, никакие четыре не лежат в одной плоскости). Через каждые три из них проведена плоскость. Докажите, что какие бы<i> n-</i>3точки в пространстве ни взять, найдется плоскость из проведенных, не содержащая ни одной из этих<i> n-</i>3точек.

Для некоторого многочлена существует бесконечное множество его значений, каждое из которых многочлен принимает по крайней мере в двух целочисленных точках. Докажите, что существует не более одного значения, которое многочлен принимает ровно в одной целой точке.

Клетки квадрата50×50раскрашены в четыре цвета. Докажите, что существует клетка, с четырех сторон от которой (т.е. сверху, снизу, слева и справа) имеются клетки одного с ней цвета (не обязательно соседние с этой клеткой).

Существуют ли действительные числа<i> a </i>,<i> b </i>и<i> c </i>такие, что при всех действительных<i> x </i>и<i> y </i>выполняется неравенство <center><i>

|x+a|+|x+y+b|+|y+c|>|x|+|x+y|+|y|? </i></center>

Многогранник описан около сферы. Назовем его грань большой, если проекция сферы на плоскость грани целиком попадает в грань. Докажите, что больших граней не больше 6.

В классе каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном. При этом болтун молчит, если в кабинете находится нечетное число его друзей – молчунов. Докажите, что учитель может пригласить на факультатив не менее половины класса так, чтобы все болтуны молчали.

О функции<i> f</i>(<i>x</i>), заданной на всей действительной прямой, известно, что при любом<i> a></i>1функция<i> f</i>(<i>x</i>)<i>+f</i>(<i>ax</i>)непрерывна на всей прямой. Докажите, что<i> f</i>(<i>x</i>)также непрерывна на всей прямой.

Докажите, что при любом натуральном <i>n</i> справедливо неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109704/problem_109704_img_2.gif">

Числа от 1 до 1000000 покрашены в два цвета – чёрный и белый. За ход разрешается выбрать любое число от 1 до 1000000 и перекрасить его и все числа, не взаимно простые с ним, в противоположный цвет. Вначале все числа были чёрными. Можно ли за несколько ходов добиться того, что все числа станут белыми?

В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены беспосадочными рейсами одной из <i>N</i> авиакомпаний, причём из каждого города есть ровно по одному рейсу каждой из авиакомпаний. Известно, что из каждого города можно долететь до любого другого (возможно, с пересадками). Из-за финансового кризиса был закрыт  <i>N</i> – 1  рейс, но ни в одной из авиакомпаний не закрыли более одного рейса. Докажите, что по-прежнему из каждого города можно долететь до любого другого.

В некоторой группе из 12 человек среди каждых девяти найдутся пять попарно знакомых. Докажите, что в этой группе найдутся шесть попарно знакомых.

Для некоторых положительных чисел <i>x</i> и <i>y</i> выполняется неравенство  <i>x</i>² + <i>y</i>³ ≥ <i>x</i>³ + <i>y</i>⁴.  Докажите, что  <i>x</i>³ + <i>y</i>³ ≤ 2.

Сумма цифр в десятичной записи натурального числа<i> n </i>равна 100, а сумма цифр числа44<i>n </i>равна 800. Чему равна сумма цифр числа3<i>n </i>?

Найдите все бесконечные ограниченные последовательности натуральных чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ..., для всех членов которых, начиная с третьего, выполнено <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109692/problem_109692_img_2.gif"></div>

На столе стоят три пустых банки из-под меда. Винни-Пух, Кролик и Пятачок по очереди кладут по одному ореху в одну из банок. Их порядковые номера до начала игры определяются жребием. При этом Винни может добавлять орех только в первую или вторую банку, Кролик – только во вторую или третью, а Пятачок – в первую или третью. Тот, после чьего хода в какой-нибудь банке оказалось ровно 1999 орехов, проигрывает. Докажите, что Винни-Пух и Пятачок могут, договорившись, играть так, чтобы Кролик проиграл.

В микросхеме 2000 контактов, первоначально любые два контакта соединены отдельным проводом. Хулиганы Вася и Петя по очереди перерезают провода, причем Вася (он начинает) за ход режет один провод, а Петя – либо два, либо три провода. Хулиган, отрезающий последний провод от какого-либо контакта, проигрывает. Кто из них выигрывает при правильной игре?

Через вершину <i>A</i> тетраэдра <i>ABCD </i> проведена плоскость, касательная к описанной около него сфере. Докажите, что линии пересечения этой плоскости с плоскостями граней <i>ABC, ACD</i> и <i>ABD</i> образуют шесть равных углов тогда и только тогда, когда  <i>AB·CD = AC·BD = AD·BC</i>.

Докажите, что три выпуклых многоугольника на плоскости нельзя пересечь одной прямой тогда и только тогда, когда каждый многоугольник можно отделить от двух других прямой (т.е. существует прямая такая, что этот многоугольник и два остальных лежат по ее разные стороны).

Четыре натуральных числа таковы, что квадрат суммы любых двух из них делится на произведение двух оставшихся.

Докажите, что по крайней мере три из этих чисел равны между собой.