Олимпиадная задача по теории чисел: квадрат суммы делится на произведение двух чисел

  Набор натуральных чисел, удовлетворяющий условию задачи, условимся называть хорошим. Ясно, что если  (a, b, c, d)  – хороший набор, то и

 (^a/_k, ^b/_k, ^c/_k, ^d/_k)  – тоже хороший набор, где  k = НОД(a, b, c, d).  Поэтому в дальнейшем считаем, что  НОД(a, b, c, d) = 1.   (1)

  Пусть одно из данных чисел, например a, имеет нечётный простой делитель p. Тогда суммы  b + c,  c + d,  b + d и, следовательно, сами числа b, c и d делятся на p (ибо, например,  2d = (b + d) + (c + d) – (b + c)),  что противоречит условию (1). Значит, числа a, b, c, d – степени двойки. Упорядочив данные числа в порядке возрастания, получим  a = 2^m,  b = 2ⁿ,  c = 2^r, d = 2^s,  где  0 = m ≤ n ≤ r ≤ s,  r ≥ 1  (иначе  m = n = r = 0,  значит,  a = b = c).  Но тогда число  (a + c)² = (1 + 2^r)²  нечётно и не может делиться на чётное число bd. Противоречие.

Ответ задачи отсутствует