Олимпиадная задача по планиметрии: выпуклые многоугольники и принцип крайнего
Задача
Докажите, что три выпуклых многоугольника на плоскости нельзя пересечь одной прямой тогда и только тогда, когда каждый многоугольник можно отделить от двух других прямой (т.е. существует прямая такая, что этот многоугольник и два остальных лежат по ее разные стороны).
Решение
Пусть каждый из многоугольников A , B , C можно отделить от двух других. Докажем, что их нельзя пересечь одной прямой. Предположим противное: X , Y , Z – соответственно точки многоугольников A , B , C , лежащие на одной прямой. Тогда одна из точек, например Y , лежит на прямой между X и Z . Следовательно, B нельзя отделить от A и C , так как в противном случае точку Y , лежащую между двумя другими X и Z , нужно отделить от этих точек одной прямой, что невозможно. В обратную сторону утверждение можно доказать двумя способами. Пусть многоугольники нельзя пересечь одной прямой.
- Рассмотрим треугольники с вершинами X
A , Y B ,
Z C . Пусть из всех таких треугольников наименьшую высоту
из вершины Y
имеет треугольник X0Y0Z0 (кстати, почему треугольник
с наименьшей высотой существует?).
Тогда прямая, перпендикулярная высоте и проходящая через середину
высоты, не пересекает многоугольники B , A и C ,
так как, в противном случае, существовал бы треугольник с
меньшей высотой, выходящей из Y0 .
- Рассмотрим две внешние касательные к многоугольникам A и C . Тогда они не могут пересекать B . Если мы сдвинем немного ту, которая лежит ближе к B , в направлении к многоугольнику B , то получим прямую, отделяющую B от A и C .
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь