Олимпиадные задачи из источника «33 турнир (2011/2012 год)» для 2-8 класса - сложность 2-4 с решениями

У Носорога на шкуре есть вертикальные и горизонтальные складки. Всего складок 17. Если Носорог чешется боком о дерево, то либо две горизонтальные, либо две вертикальные складки на этом боку пропадают, зато на другом боку прибавляются две складки: горизонтальная и вертикальная. (Если двух складок одного направления нет, то ничего не происходит.) Носорог почесался несколько раз. Могло ли случиться, что на каждом боку вертикальных складок стало столько, сколько там раньше было горизонтальных, а горизонтальных стало столько, сколько там было вертикальных?

В выражении  10 : 9 : 8 : 7 : 6 : 5 : 4 : 3 : 2 : 1  расставили скобки так, что в результате вычислений получилось целое число. Каким

а) наибольшим;  б) наименьшим может быть это число?

Дан параллелограмм <i>ABCD</i>. Вписанные окружности треугольников <i>ABC</i> и <i>ADC</i> касаются диагонали <i>AC</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i>. Вписанные окружности треугольников <i>BCD</i> и <i>BAD</i> касаются диагонали <i>BD</i> в точках <i>Z</i> и <i>T</i>. Докажите, что если все точки <i>X, Y, Z, T</i> различны, то они являются вершинами прямоугольника.

Существует ли натуральное число, у которого нечётное количество чётных натуральных делителей и чётное количество нечётных?

Под одной из клеток доски 8×8 зарыт клад. Под каждой из остальных зарыта табличка, в которой указано, за какое наименьшее число шагов можно добраться из этой клетки до клада (одним шагом можно перейти из клетки в соседнюю по стороне клетку). Какое наименьшее число клеток надо перекопать, чтобы наверняка достать клад?

Дан треугольник <i>ABC</i>. Прямая <i>l</i> касается вписанной в него окружности. Обозначим через <i>l_a, l_b, l_c</i> прямые, симметричные <i>l</i> относительно биссектрис внешних углов треугольника. Докажите, что треугольник, образованный этими прямыми, равен треугольнику <i>ABC</i>.

В ряд лежит чётное число груш. Массы любых двух соседних груш отличаются не более чем на 1 г. Докажите, что можно все груши разложить по две в одинаковые пакеты и выложить пакеты в ряд так, чтобы массы любых двух соседних пакетов тоже отличались не более чем на 1 г.

На плоскости отмечены 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Саша разбивает точки на пары, после чего соединяет точки в каждой из пар отрезком. Всегда ли он может это сделать так, чтобы каждые два отрезка пересекались?

Вершины правильного 45-угольника раскрашены в три цвета, причём вершин каждого цвета поровну. Докажите, что можно выбрать по три вершины каждого цвета так, чтобы три треугольника, образованные выбранными одноцветными вершинами, были равны.

По прямому шоссе со скоростью 60 км в час едет машина. Недалеко от шоссе стоит параллельный ему 100-метровый забор. Каждую секунду пассажир машины измеряет угол, под которым виден забор. Докажите, что сумма всех измеренных им углов меньше 1100°.

Известно, что  0 < <i>a, b, c, d</i> < 1  и  <i>abcd</i> = (1 – <i>a</i>)(1 – <i>b</i>)(1 – <i>c</i>)(1 – <i>d</i>).  Докажите, что   (<i>a + b + c + d</i>) – (<i>a + c</i>)(<i>b + d</i>) ≥ 1.

На клетчатой доске из 2012 строк и  <i>k</i> > 2  столбцов в какой-то клетке самого левого столбца стоит фишка. Двое ходят по очереди, за ход можно передвинуть фишку вправо, вверх или вниз на одну клетку, при этом нельзя передвигать фишку на клетку, в которой она уже побывала. Игра заканчивается, как только один из игроков передвинет фишку в самый правый столбец. Но будет ли такой игрок выигравшим или проигравшим – сообщается игрокам только в тот момент, когда фишка попадает в предпоследний столбец (второй справа). Может ли один из игроков обеспечить себе выигрыш?

В наборе несколько гирь, все веса которых различны. Известно, что если положить любую пару гирь на левую чашу, можно весы уравновесить, положив на правую чашу одну или несколько гирь из остальных. Найдите наименьшее возможное число гирь в наборе.

На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> взята такая точка <i>P</i>, что  <i>AP</i> = 2<i>PB</i>,  а на стороне <i>AC</i> – ее середина, точка <i>Q</i>. Известно, что  <i>CP</i> = 2<i>PQ</i>.

Докажите, что треугольник <i>ABC</i> прямоугольный.

Саша пишет на доске последовательность натуральных чисел. Первое число  <i>N</i> > 1  написано заранее. Новые натуральные числа он получает так: вычитает из последнего записанного числа или прибавляет к нему любой его делитель, больший 1. При любом ли натуральном  <i>N</i> > 1  Саша сможет написать на доске в какой-то момент число 2011?

На плоскости даны 10 прямых общего положения. При каждой точке пересечения выбирается наименьший угол, образованный проходящими через неё прямыми. Найдите наибольшую возможную сумму всех этих углов.

Натуральные числа  <i>a < b < c</i>  таковы, что  <i>b + a</i>  делится на  <i>b – a</i>,  а  <i>c + b</i>  делится на  <i>c – b</i>.  Число <i>a</i> записывается 2011, а число <i>b</i> – 2012 цифрами. Сколько цифр в числе <i>c</i>?

В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> стороны равны соответственно:   <i>AB</i> = 10,  <i>BC</i> = 14,  <i>CD</i> = 11,  <i>AD</i> = 5.   Найдите угол между его диагоналями.

В каждой клетке секретной таблицы <i>n</i>×<i>n</i> записана одна из цифр от 1 до 9. Из них получаются <i>n</i>-значные числа, записанные в строках слева направо и в столбцах сверху вниз. Петя хочет написать такое <i>n</i>-значное число без нулей в записи, чтобы ни это число, ни оно же, записанное задом наперед, не совпадало ни с одним из 2<i>n</i> чисел в строках и столбцах таблицы. В каком наименьшем количестве клеток Петя должен для этого узнать цифры?

По шоссе в одну сторону движутся пешеход и велосипедист, в другую сторону – телега и машина. Все участники движутся с постоянными скоростями (каждый со своей). Велосипедист сначала обогнал пешехода, потом через некоторое время встретил телегу, а потом ещё через такое же время встретил машину. Машина сначала встретила велосипедиста, потом через некоторое время встретила пешехода, и потом ещё через такое же время обогнала телегу. Велосипедист обогнал пешехода в 10 часов, а пешеход встретил машину в 11 часов. Когда пешеход встретил телегу?

В вершинах 33-угольника записали в некотором порядке целые числа от 1 до 33. Затем на каждой стороне написали сумму чисел в её концах.

Могут ли на сторонах оказаться 33 последовательных целых числа (в каком-нибудь порядке)?

Из клетчатого прямоугольника 9×9 вырезали 16 клеток, у которых номера горизонталей и вертикалей чётные. Разрежьте оставшуюся фигуру на несколько клетчатых прямоугольников так, чтобы среди них было как можно меньше квадратиков 1×1.

Гости за круглым столом ели изюм из корзины с 2011 изюминками. Оказалось, что каждый съел либо вдвое больше, либо на 6 меньше изюминок, чем его сосед справа. Докажите, что были съедены не все изюминки.

На наибольшей стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> взяли такие точки <i>P</i> и <i>Q</i>, что  <i>AQ = AC,  BP = BC</i>.

Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>PQC</i> совпадает с центром вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.