Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс»
осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
НазадВершины правильного 45-угольника раскрашены в три цвета, причём вершин каждого цвета поровну. Докажите, что можно выбрать по три вершины каждого цвета так, чтобы три треугольника, образованные выбранными одноцветными вершинами, были равны.
По прямому шоссе со скоростью 60 км в час едет машина. Недалеко от шоссе стоит параллельный ему 100-метровый забор. Каждую секунду пассажир машины измеряет угол, под которым виден забор. Докажите, что сумма всех измеренных им углов меньше 1100°.
Известно, что 0 < <i>a, b, c, d</i> < 1 и <i>abcd</i> = (1 – <i>a</i>)(1 – <i>b</i>)(1 – <i>c</i>)(1 – <i>d</i>). Докажите, что (<i>a + b + c + d</i>) – (<i>a + c</i>)(<i>b + d</i>) ≥ 1.
На клетчатой доске из 2012 строк и <i>k</i> > 2 столбцов в какой-то клетке самого левого столбца стоит фишка. Двое ходят по очереди, за ход можно передвинуть фишку вправо, вверх или вниз на одну клетку, при этом нельзя передвигать фишку на клетку, в которой она уже побывала. Игра заканчивается, как только один из игроков передвинет фишку в самый правый столбец. Но будет ли такой игрок выигравшим или проигравшим – сообщается игрокам только в тот момент, когда фишка попадает в предпоследний столбец (второй справа). Может ли один из игроков обеспечить себе выигрыш?
В наборе несколько гирь, все веса которых различны. Известно, что если положить любую пару гирь на левую чашу, можно весы уравновесить, положив на правую чашу одну или несколько гирь из остальных. Найдите наименьшее возможное число гирь в наборе.
На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> взята такая точка <i>P</i>, что <i>AP</i> = 2<i>PB</i>, а на стороне <i>AC</i> – ее середина, точка <i>Q</i>. Известно, что <i>CP</i> = 2<i>PQ</i>.
Докажите, что треугольник <i>ABC</i> прямоугольный.
Саша пишет на доске последовательность натуральных чисел. Первое число <i>N</i> > 1 написано заранее. Новые натуральные числа он получает так: вычитает из последнего записанного числа или прибавляет к нему любой его делитель, больший 1. При любом ли натуральном <i>N</i> > 1 Саша сможет написать на доске в какой-то момент число 2011?