Олимпиадная задача по планиметрии: угол между диагоналями четырёхугольника

Решение 1:   Нетрудно убедиться, что   AB² + CD² = AD² + BC².   Пусть O – точка пересечения диагоналей четырёхугольника, а угол AOB равен α. Выразив входящие в равенство квадраты сторон по теореме косинусов для треугольников AOB, BOC, COD и DOA, после сокращений получим

– cos α (OA·OB + OC·OD) = cos α (OA·OD + OC·OB),   что возможно только при  cos α = 0.

Решение 2:   Рассмотрим последовательные стороны четырёхугольника как векторы a, b, c, d  (a + b + c + d = 0).  При этом   a² + c² = b² + d².

  Заметим, что  d + a  – одна диагональ четырёхугольника, а  a + b  – другая.

  Имеем   2(d + a, a + b) = (a + d – b – c, a + b) = (a – b, a + b) + (d – c, a + b) = (a – b, a + b) + (c – d, c + d) = a² – b² + c² – d² = 0.   Это и значит, что диагонали перпендикулярны.

90°.