Олимпиадные задачи из источника «XI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2015 г.)» для 11 класса - сложность 3 с решениями

Дан тетраэдр <i>ABCD</i>. В грани <i>ABC</i> и <i>ABD</i> вписаны окружности с центрами <i>O</i>₁, <i>O</i>₂, касающиеся ребра <i>AB</i> в точках <i>T</i>₁, <i>T</i>₂. Плоскость π_<i>AB</i> проходит через середину отрезка <i>T</i>₁<i>T</i>₂ и перпендикулярна <i>O</i>₁<i>O</i>₂. Аналогично определяются плоскости π_<i>AC</i>, π_<i>BC</i>, π<sub><i>AD</i&g...

Грани икосаэдра окрасили в пять цветов (среди которых есть красный и синий) так, что две грани, окрашенные в один цвет, не имеют общих точек, даже вершин. Докажите, что для любой точки внутри икосаэдра сумма расстояний от нее до красных граней равна сумме расстояний до синих граней.

Даны окружность и лежащий внутри неё эллипс с фокусом <i>C</i>.

Найдите геометрическое место центров описанных окружностей треугольников <i>ABC</i>, где <i>AB</i> – хорда окружности, касающаяся эллипса.

Пусть <i>AL</i> и <i>AK</i> – внутренняя и внешняя биссектрисы треугольника <i>ABC,  P</i> – точка пересечения касательных к описанной окружности в точках <i>B</i> и <i>C</i>. Перпендикуляр, восставленный из точки <i>L</i> к <i>BC</i>, пересекает прямую <i>AP</i> в точке <i>Q</i>. Докажите, что <i>Q</i> лежит на средней линии треугольника <i>LKP</i>.

В окружность вписан шестиугольник <i>ABCDEF.  K, L, M, N</i> – точки пересечения пар прямых <i>AB</i> и <i>CD, AC</i> и <i>BD, AF</i> и <i>DE, AE</i> и <i>DF</i>.

Докажите, что если три из этих точек лежат на одной прямой, то и четвёртая точка лежит на этой прямой.

Дан треугольник <i>ABC,  O</i> – центр его описанной окружности. Проекции точек <i>D</i> и <i>X</i> на стороны треугольника лежат на прямых <i>l</i> и <i>L</i>, причём <i>l || XO</i>.  Докажите, что прямая <i>L</i> образует равные углы с прямыми <i>AB</i> и <i>CD</i>.

Дан неравнобедренный остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Точки <i>A</i>₁, <i>A</i>₂ симметричны основаниям внутренней и внешней биссектрис угла <i>A</i> относительно середины стороны <i>BC</i>. На отрезке <i>A</i>₁<i>A</i>₂ как на диаметре построена окружность α. Аналогично определяются окружности β и γ. Докажите, что эти три окружности пересекаются в двух точках.

Сколько (максимум) кругов можно расположить на плоскости так, чтобы каждые два из них пересекались, а никакие три – нет?

Можно ли разрезать какой-нибудь прямоугольник на правильный шестиугольник со стороной 1 и несколько равных прямоугольных треугольников с катетами 1 и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65383/problem_65383_img_2.png">?

Четырёхугольная пирамида <i>SABCD</i> вписана в сферу. Из вершин <i>A, B, C, D</i> опущены перпендикуляры <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁, <i>CC</i>₁, <i>DD</i>₁ на прямые <i>SC, SD, SA, SB</i> соответственно. Оказалось, что точки <i>S, A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁, <i>D</i>₁ различны и лежат на одной сфере. Докажите, что точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁, <i>D</i><s...

Пусть <i>H</i> и <i>O</i> – ортоцентр и центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Описанная окружность треугольника <i>AOH</i>, пересекает серединный перпендикуляр к <i>BC</i> в точке <i>A</i>₁. Аналогично определяются точки <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁. Докажите, что прямые <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ пересекаются в одной точке.

В треугольнике <i>ABC</i> точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ – середины сторон <i>BC</i>, <i>CA</i> и <i>AB</i> соответственно. Точки <i>B</i>₂ и <i>C</i>₂ – середины отрезков <i>BA</i>₁ и <i>CA</i>₁ соответственно. Точка <i>B</i>₃ симметрична <i>C</i>₁ относительно <i>B</i>, а точка <i>C</i>₃ симметрична <i>B</i>₁ относительно <i>C</i>....

Докажите, что всякий треугольник площади 1 можно накрыть равнобедренным треугольником площади менее  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65377/problem_65377_img_2.png">.

В остроугольном неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> высоты <i>AA'</i> и <i>BB'</i> пересекаются в точке <i>H</i>, а медианы треугольника <i>AHB</i> пересекаются в точке <i>M</i>. Прямая <i>CM</i> делит отрезок <i>A'B'</i> пополам. Найдите угол <i>C</i>.

Диагонали выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> перпендикулярны. Точки <i>A', B', C', D'</i> – центры описанных окружностей треугольников <i>ABD, BCA, CDB, DAC</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>AA', BB', CC', DD'</i> пересекаются в одной точке.

Дан фиксированный треугольник <i>ABC</i>. По его описанной окружности движется точка <i>P</i> так, что хорды <i>BC</i> и <i>AP</i> пересекаются. Прямая <i>AP</i> разрезает треугольник <i>BPC</i> на два меньших, центры вписанных окружностей которых обозначим через <i>I</i>₁ и <i>I</i>₂ соответственно. Прямая <i>I</i>₁<i>I</i>₂ пересекает прямую <i>BC</i> в точке <i>Z</i>. Докажите, что все прямые <i>ZP</i> проходят через фиксированную точку.

На плоскости нарисованы 100 кругов, каждые два из которых имеют общую точку (возможно, граничную).

Докажите, что найдётся точка, принадлежащая не менее чем 15 кругам.

Дан выпуклый четырёхугольник. Постройте циркулем и линейкой точку, проекции которой на прямые, содержащие его стороны, являются вершинами параллелограмма.

На сторонах <i>AB</i>, <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> взяли такие точки <i>C</i>₁, <i>B</i>₁ соответственно, что  <i>BB</i>₁ ⊥ <i>CC</i>₁.  Точка <i>X</i> внутри треугольника такова, что

∠<i>XBC</i> = ∠<i>B</i>₁<i>BA</i>,  ∠<i>XCB</i> = ∠<i>C</i>₁<i>CA</i>.  Докажите, что  ∠<i>B</i>₁<i>XC</i>₁ = 90° – ∠<i>A</i>.

На стороне <i>AB</i> четырёхугольника <i>ABCD</i> нашлась такая точка <i>M</i>, что четырёхугольники <i>AMCD</i> и <i>BMDC</i> описаны около окружностей с центрами <i>O</i>₁ и <i>O</i>₂ соответственно. Прямая <i>O</i>₁<i>O</i>₂ отсекает от угла <i>CMD</i> равнобедренный треугольник с вершиной <i>M</i>. Докажите, что четырёхугольник <i>ABCD</i> вписанный.

Докажите, что любой выпуклый четырёхугольник можно разрезать на пять многоугольников, каждый из которых имеет ось симметрии.

В треугольнике <i>ABC  AB = BC</i>,  ∠<i>B</i> = 20°.  Точка <i>M</i> на основании <i>AC</i> такова, что  <i>AM</i> : <i>MC</i> = 1 : 2,  точка <i>H</i> – проекция <i>C</i> на <i>BM</i>. Найдите угол <i>AHB</i>.

Окружность, проходящая через вершины <i>A, B</i> и точку пересечения высот треугольника <i>ABC</i>, пересекает стороны <i>AC</i> и <i>BC</i> во внутренних точках.

Докажите, что  60° < ∠<i>C</i> < 90°.