Олимпиадные задачи из источника «VII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2011 г.)» для 8-10 класса - сложность 2 с решениями

В треугольнике <i>ABC</i> высота и медиана, проведённые из вершины <i>A</i>, образуют (вместе с прямой <i>BC</i>) треугольник, в котором биссектриса угла <i>A</i> является медианой, а высота и медиана, проведённые из вершины <i>B</i>, образуют (вместе с прямой <i>AC</i>) треугольник, в котором биссектриса угла <i>B</i> является биссектрисой. Найдите отношение сторон треугольника <i>ABC</i>.

Пусть <i>AP</i> и <i>BQ</i> – высоты данного остроугольного треугольника <i>ABC</i>. Постройте циркулем и линейкой на стороне <i>AB</i> точку <i>M</i> так, чтобы

∠<i>AQM</i> = ∠<i>BPM</i>.

Вневписанная окружность прямоугольного треугольника <i>ABC</i>  (∠<i>B</i> = 90°)  касается стороны <i>BC</i> в точке <i>A</i>₁, а прямой <i>AC</i> в точке <i>A</i>₂. Прямая <i>A</i>₁<i>A</i>₂ пересекает (первый раз) вписанную окружность треугольника <i>ABC</i> в точке <i>A'</i>; аналогично определяется точка <i>C'</i>. Докажите, что  <i>AC || A'C'</i>.

Точка <i>H</i> – ортоцентр треугольника <i>ABC</i>. Касательные, проведённые к описанным окружностям треугольников <i>CHB</i> и <i>AHB</i> в точке <i>H</i>, пересекают прямую <i>AC</i> в точках <i>A</i>₁ и <i>C</i>₁ соответственно. Докажите, что  <i>A</i>₁<i>H = C</i>₁<i>H</i>.

На сторонах <i>AB</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> выбрали точки <i>P</i> и <i>Q</i> так, что  <i>PB = QC</i>.  Докажите, что  <i>PQ < BC</i>.

Даны две единичные окружности ω₁ и ω₂, пересекающиеся в точках <i>A</i> и <i>B</i>. На окружности ω₁ взяли произвольную точку <i>M</i>, а на окружности ω₂ точку <i>N</i>. Через точки <i>M</i> и <i>N</i> провели ещё две единичные окружности ω₃ и ω₄. Обозначим повторное пересечение ω₁ и ω₃ через <i>C</i>, повторное пересечение окружностей ω₂ и ω₄ – через <i>D</i>. Докажите, что <i>ACBD</i> – параллелограмм.

В треугольнике <i>ABC</i> проведён серединный перпендикуляр к стороне <i>AB</i> до пересечения с другой стороной в некоторой точке <i>C'</i>. Аналогично построены точки <i>A'</i> и <i>B'</i>. Для каких исходных треугольников треугольник <i>A'B'C'</i> будет равносторонним?

В треугольнике <i>ABC</i> проведены биссектрисы <i>AA', BB', CC'</i>. Известно, что в треугольнике <i>A'B'C'</i> эти прямые также являются биссектрисами.

Верно ли, что треугольник <i>ABC</i> равносторонний?

В треугольнике <i>ABC</i>  ∠<i>A</i> = 60°.  Серединный перпендикуляр к отрезку <i>AB</i> пересекает прямую <i>AC</i> в точке <i>C</i>₁. Серединный перпендикуляр к отрезку <i>AC</i> пересекает прямую <i>AB</i> в точке <i>B</i>₁. Докажите, что прямая <i>B</i>₁<i>C</i>₁ касается вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> со сторонами  <i>AB</i> = 4,  <i>AC</i> = 6  проведена биссектриса угла <i>A</i>. На эту биссектрису опущен перпендикуляр <i>BH</i>.

Найдите <i>MH</i>, где <i>M</i> – середина <i>BC</i>.

Существует ли выпуклый семиугольник, который можно разрезать на 2011 равных треугольников?

Точка касания вневписанной окружности со стороной треугольника и основание высоты, проведённой к этой стороне, симметричны относительно основания биссектрисы, проведённой к этой же стороне. Докажите, что эта сторона составляет треть периметра треугольника.

В треугольнике <i>ABC</i>  <i>AA</i>₀ и <i>BB</i>₀ – медианы, <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁ – высоты. Описанные окружности треугольников <i>CA</i>₀<i>B</i>₀ и <i>CA</i>₁<i>B</i>₁ вторично пересекаются в точке <i>M_c</i>. Аналогично определяются точки <i>M_a, M_b</i>. Докажите, что точки <i>M_a, M_b, M_c</i> лежат на одной прямой, а прямые <i...

Высоты <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁ треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>H</i>. Прямая <i>CH</i> пересекает полуокружность с диаметром <i>AB</i>, проходящую через точки <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁, в точке <i>D</i>. Отрезки <i>AD</i> и <i>BB</i>₁ пересекаются в точке <i>M, BD</i> и <i>AA</i>₁ – в точке <i>N</i>. Докажите, что описанные окружности треугольников <i>B</i>₁<i>DM</i> и <i>A</i>₁<i>DN</i&g...

Через вершину <i>A</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i> проведена прямая, не пересекающая отрезок <i>BC</i>. По разные стороны от точки <i>A</i> на этой прямой взяты точки <i>M</i> и <i>N</i> так, что  <i>AM = AN = AB</i>  (точка <i>B</i> внутри угла <i>MAC</i>). Докажите, что прямые <i>AB, AC, BN, CM</i> образуют вписанный четырёхугольник.

В трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии. Докажите, что трапеция равнобокая.