Олимпиадная задача по планиметрии: деление площади и периметра треугольника
Задача
Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку пересечения высот неравностороннего треугольника ABC, делит его периметр и площадь в одном и том же отношении. Найдите это отношение.
Решение
Согласно задаче 155462 указанная прямая проходит через центр I вписанной окружности. Эта прямая содержит не более одной вершины треугольника. Пусть она не проходит через вершины A и B. Так как AI, BI – биссектрисы углов HAO, HBO, получаем, что AH : AO = HI : IO = BH : BO. Так как
AO = BO, то AH = BH, то есть треугольник ABC равнобедренный и искомое отношение равно 1 : 1.
Ответ
1 : 1.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет