Олимпиадные задачи из источника «2009 год» для 8-11 класса
Из пункта<i>А</i>в пункт<i>В</i>вышел пешеход. Одновременно с ним из<i>В</i>в<i>А</i>выехал велосипедист. Через час пешеход оказался ровно посередине между пунктом<i>А</i>и велосипедистом. Ещё через 15 минут они встретились, и каждый продолжил свой путь. Сколько времени потратил пешеход на путь из<i>А</i>до<i>В</i>? (Скорости пешехода и велосипедиста постоянны.)
Шестизначное табло в автомобиле показывает, сколько километров автомобиль проехал с момента покупки. Сейчас на нем высвечивается число, в котором есть четыре "семёрки". Может ли оказаться так, что еще через900 км на табло высветится число, в котором ровно одна "семерка"?
В тюрьме Кощея пять камер, пронумерованных числами от1до5. В каждой камере сидит по одному узнику. Василиса уговорила Кощея провести эксперимент: на стене каждой камеры она один раз напишет какой-нибудь номер и в полночь каждый узник перейдёт в камеру с указанным номером (если номер на стене совпадает с номером камеры, то узник никуда не переходит). В следующую полночь узники опять должны перейти из камеры в камеру согласно указаниям на стене, и так они действуют в течение пяти ночей. Если расположение узников в камерах в течение всех шести дней (включая первый) ни разу не повторится, то Василисе дадут звание Премудрой, а узников отпустят. Помогите Василисе написать номера в камерах.
Разрежьте данную фигуру (см. рисунок) на три равных фигуры. <center><i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115474/problem_115474_img_2.gif"> </i></center>
Саша выложил треугольник со стороной из нескольких спичек, разделённый на маленькие треугольники (см. рис.), а Петя – такой же треугольник, сторона которого на три спички больше. Петя считает, что для этого ему потребовалось на 111 спичек больше чем Саше, а Саша с ним не согласен. Кто из мальчиков прав?<div align="center"><img src="/storage/problem-media/115472/problem_115472_img_2.gif"></div>
Карлсону подарили пакет с конфетами: шоколадными и карамельками. За первые 10 минут Карлсон съел 20% всех конфет, причем 25% из них составляли карамельки. После этого Карлсон съел еще три шоколадные конфеты, и доля карамелек среди съеденных Карлсоном конфет понизилась до 20%. Сколько конфет было в подаренном Карлсону пакете?
В классе25учеников. Известно, что у любых двух девочек класса количество друзей-мальчиков из этого класса не совпадает. Какое наибольшее количество девочек может быть в этом классе?
На дне рождения у Васи было 10 ребят (включая Васю). Оказалось, что у каждых двух из этих ребят есть общий дедушка.
Докажите, что у семи из них есть общий дедушка.
Представьте числовое выражение 2·2009² + 2·2010² в виде суммы квадратов двух натуральных чисел. .
Школьный чемпионат по настольному теннису проводили по олимпийской системе. Победитель выиграл шесть партий. Сколько участников турнира выиграло игр больше, чем проиграло? (На турнире по олимпийской системе участников разбивают на пары. Те, кто проиграл игру в первом туре, выбывают. Тех, кто выиграл в первом туре, снова разбивают на пары. Те, кто проиграл во втором туре, выбывают и т. д. В каждом туре для каждого участника нашлась пара.)
В треугольнике <i>АВС</i> медиана <i>ВМ</i> в два раза меньше стороны <i>АВ</i> и образует с ней угол 40°. Найдите угол <i>АВС</i>.
Произведение двух натуральных чисел, каждое из которых не делится нацело на 10, равно 1000. Найдите их сумму.
Дан такой набор из 2009 чисел, что если каждое число в наборе заменить на сумму остальных чисел, то получится тот же набор.
Найдите произведение всех чисел набора.
В выпуклом четырёхугольнике<i> ABCD </i>диагональ<i> AC </i>делит пополам отрезок, соединяющий середины сторон<i> BC </i>и<i> AD </i>. В каком отношении она делит диагональ<i> BD </i>?
Том Сойер взялся покрасить очень длинный забор, соблюдая условие: любые две доски, между которыми ровно две, ровно три или ровно пять досок, должны быть окрашены в разные цвета. Какое наименьшее количество красок потребуется Тому для этой работы?
Диагонали трапеции<i> ABCD </i>пересекаются в точке<i> O </i>. Описанные окружности треугольников<i> AOB </i>и<i> COD </i>пересекаются в точке<i> М </i>на основании<i> AD </i>. Докажите, что треугольник<i> BMC </i>равнобедренный.
Коля и Вася за ноябрь получили по 15 оценок: тройки, четвёрки и пятёрки. При этом Коля получил пятёрок столько же, сколько Вася четвёрок, четвёрок столько же, сколько Вася троек, а троек столько же, сколько Вася пятёрок. Оказалось, что средний балл за ноябрь у мальчиков одинаковый. Сколько троек получил Коля в ноябре?
Задайте формулой какую-нибудь квадратичную функцию, график которой пересекает оси координат в вершинах прямоугольного треугольника.
В треугольнике<i> АВС </i>:<i> АС = <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115455/problem_115455_img_2.gif"> </i>. Докажите, что центры вписанной и описанной окружностей треугольника<i> АВС </i>, середины сторон<i> АВ </i>и<i> ВС </i>и вершина<i> В </i>лежат на одной окружности.
В течение92дней авиакомпания ежедневно выполняла по десять рейсов. За день каждый самолет выполнял не более одного рейса. Известно, что для любой пары дней найдется один и только один самолет, летавший в оба эти дня. Докажите, что есть самолет, летавший каждый день.
Существуют ли нечётные целые числа <i>х, у</i> и <i>z</i>, удовлетворяющие равенству (<i>x + y</i>)² + (<i>x + z</i>)² = (<i>y + z</i>)²?
Известно, что при любом положительном значении<i> р </i>все корни уравнения (с переменной<i> x </i>)<i> ах<sup>2</sup>-</i>3<i>х+р = </i>0положительны. Докажите, что<i>а</i>= 0.
Пусть<i> α </i>,<i> β </i>,<i> γ </i>и<i> δ </i> — градусные меры углов некоторого выпуклого четырехугольника. Всегда ли из этих четырех чисел можно выбрать три числа так, чтобы они выражали длины сторон некоторого треугольника (например, в метрах)?
Из ряда натуральных чисел вычеркнули все числа, которые являются квадратами или кубами целых чисел. Какое из оставшихся чисел стоит на сотом месте?
Какое наименьшее количество трехклеточных уголков можно разместить в квадрате8<i>× </i>8так, чтобы в этот квадрат больше нельзя было поместить ни одного такого уголка?