Олимпиадные задачи из источника «10 Класс»

В треугольнике<i> АВС </i>:<i> АС = <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115455/problem_115455_img_2.gif"> </i>. Докажите, что центры вписанной и описанной окружностей треугольника<i> АВС </i>, середины сторон<i> АВ </i>и<i> ВС </i>и вершина<i> В </i>лежат на одной окружности.

В течение92дней авиакомпания ежедневно выполняла по десять рейсов. За день каждый самолет выполнял не более одного рейса. Известно, что для любой пары дней найдется один и только один самолет, летавший в оба эти дня. Докажите, что есть самолет, летавший каждый день.

Существуют ли нечётные целые числа <i>х, у</i> и <i>z</i>, удовлетворяющие равенству  (<i>x + y</i>)² + (<i>x + z</i>)² = (<i>y + z</i>)²?

Известно, что при любом положительном значении<i> р </i>все корни уравнения (с переменной<i> x </i>)<i> ах²-</i>3<i>х+р = </i>0положительны. Докажите, что<i>а</i>= 0.

Пусть<i> α </i>,<i> β </i>,<i> γ </i>и<i> δ </i> — градусные меры углов некоторого выпуклого четырехугольника. Всегда ли из этих четырех чисел можно выбрать три числа так, чтобы они выражали длины сторон некоторого треугольника (например, в метрах)?

Из ряда натуральных чисел вычеркнули все числа, которые являются квадратами или кубами целых чисел. Какое из оставшихся чисел стоит на сотом месте?