Олимпиадные задачи из источника «2013/14» для 9-10 класса
Какое наибольшее число фишек можно поставить на клетки шахматной доски так, чтобы на каждой горизонтали, вертикали и диагонали (не только на главных) находилось чётное число фишек?
Петя записал на компьютере число 1. Каждую секунду компьютер прибавляет к числу на экране сумму его цифр.
Может ли через какое-то время на экране появиться число 123456789?
Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, у которого сумма тупых углов равна 3000°?
Найдите наименьшее значение функции <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64677/problem_64677_img_2.gif">
Вокруг равнобедренного треугольника <i>ABC</i> (<i>AB = AC</i>) описана окружность. Касательная к ней в точке <i>В</i> пересекает луч <i>АС</i> в точке <i>D, Е</i> – середина стороны <i>АВ, Н</i> – основание перпендикуляра, опущенного из точки <i>D</i> на прямую <i>АВ</i>. Найдите длину <i>ЕН</i>, если <i>AD = a</i>.
Решите систему уравнений: <img align="middle" src="/storage/problem-media/64674/problem_64674_img_2.gif">.
Произведение четырёх последовательных положительных нечётных чисел оканчивается на 9. Найдите две предпоследние цифры этого произведения.
В каком отношении делит площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, биссектриса её острого угла?
Число <i>a</i> – корень уравнения <i>х</i><sup>11</sup> + <i>х</i><sup>7</sup> + <i>х</i><sup>3</sup> = 1. При каких натуральных значениях <i>n</i> выполняется равенство <i>a</i><sup>4</sup> + <i>a</i><sup>3</sup> = <i>a<sup>n</sup></i> + 1?
В турнире по игре в "крестики – нолики", проведённом по системе "проиграл – выбыл", участвовали 18 школьников. Каждый день играли одну партию, участников которой выбирали жребием из ещё не выбывших школьников. Каждый из шестерых школьников утверждает, что сыграл ровно четыре партии. Не ошибается ли кто-то из них?
В квадрате <i>ABCD</i> на стороне <i>ВС</i> взята точка <i>М</i>, а на стороне <i>CD</i> – точка <i>N</i> так, что ∠<i>MAN</i> = 45°.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>AMN</i> принадлежит диагонали <i>АС</i>.
Существует ли такой многочлен <i>f</i>(<i>x</i>) степени 6, что для любого <i>x</i> выполнено равенство <i>f</i>(sin<i>x</i>) + <i>f</i>(cos<i>x</i>) = 1?
Дана таблица размером 8×8, изображающая шахматную доску. За каждый шаг разрешается поменять местами любые два столбца или любые две строки. Можно ли за несколько шагов сделать так, чтобы верхняя половина таблицы стала белой, а нижняя половина – чёрной?
Даны две пересекающиеся плоскости, в одной из которых лежит произвольный треугольник площади <i>S</i>.
Существует ли его параллельная проекция на вторую плоскость, имеющая ту же площадь <i>S</i>?
Среднее арифметическое десяти различных натуральных чисел равно 15. Найдите наибольшее значение наибольшего из этих чисел.
Толя выложил в ряд 101 монету достоинством 1, 2 и 3 копейки. Оказалось, что между каждыми двумя копеечными монетами лежит хотя бы одна монета, между каждыми двумя двухкопеечными монетами лежат хотя бы две монеты, а между каждыми двумя трёхкопеечными монетами лежат хотя бы три монеты. Сколько трёхкопеечных монет могло быть у Толи?
На равных сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно так, что <i>AC = CM</i> и <i>MN = NB</i>. Высота треугольника, проведенная из вершины <i>B</i>, пересекает отрезок <i>CM</i> в точке <i>H</i>. Докажите, что <i>NH</i> – биссектриса угла <i>MNC</i>.
На диске хранится 2013 файлов размером 1 Мб, 2 Мб, 3 Мб, ..., 2012 Мб, 2013 Мб. Можно ли их распределить по трём папкам так, чтобы в каждой папке было одинаковое количество файлов и все три папки имели один и тот же размер (в Мб)?
Можно ли расставить шесть фотографов на площади таким образом, чтобы каждый из них мог сфотографировать ровно четырёх других? (Фотографы <i>А</i> и <i>В</i> могут сфотографировать друг друга, если на отрезке <i>АВ</i> нет других фотографов.)
В квадрате <i>АВСD</i> со стороной 1 точка <i>F</i> – середина стороны <i>ВС, Е</i> – основание перпендикуляра, опущенного из вершины <i>А</i> на <i>DF</i>.
Найдите длину <i>ВЕ</i>.
Три математика ехали в разных вагонах одного поезда. Когда поезд подъезжал к станции, математики насчитали на перроне 7, 12 и 15 скамеек. А когда поезд отъезжал, один из математиков насчитал скамеек в три раза больше, чем другой. А сколько скамеек насчитал третий?
Найдутся ли такие три натуральных числа, что сумма каждых двух из них – степень тройки?
Полуокружность с диаметром <i>AD</i> касается катета <i>BC</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> в точке <i>М</i> (см. рисунок).
Докажите, что <i>AM </i>– биссектриса угла <i>BAC</i>.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/64561/problem_64561_img_2.gif"></div>
Для чисел <i>а, b</i> и <i>с</i> выполняется равенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64560/problem_64560_img_2.gif">. Следует ли из него, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64560/problem_64560_img_3.gif">?
Может ли разность квадратов двух простых чисел быть квадратом натурального числа?