Олимпиадные задачи из источника «2013/14» для 2-8 класса - сложность 2 с решениями

Какое наибольшее число фишек можно поставить на клетки шахматной доски так, чтобы на каждой горизонтали, вертикали и диагонали (не только на главных) находилось чётное число фишек?

Из шахматной доски (размером 8×8) вырезали центральный квадрат размером 2×2.

Можно ли оставшуюся часть доски разрезать на равные фигурки в виде буквы "Г", состоящие из четырёх клеток?

На сторонах <i>BC</i> и <i>CD</i> квадрата <i>ABCD</i> отмечены точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно так, что лучи <i>AM</i> и <i>AN</i> делят угол <i>BAD</i> на три равные части. <i>ME</i> – высота треугольника <i>MAN</i>. Найдите угол <i>EDN</i>.

В соревнованиях велогонщиков на круговом треке приняли участие Вася, Петя и Коля, стартовав одновременно. Вася каждый круг проезжал на две секунды быстрее Пети, а Петя – на три секунды быстрее Коли. Когда Вася закончил дистанцию, Пете осталось проехать один круг, а Коле – два круга. Сколько кругов составляла дистанция?

Учительница записала на доске два натуральных числа. Лёня умножил первое число на сумму цифр второго и получил 201320132013. Федя умножил второе число на сумму цифр первого и получил 201420142014. Не ошибся ли кто-то из ребят?

Два поезда, в каждом из которых по 20 одинаковых вагонов, двигались навстречу друг другу по параллельным путям с постоянными скоростями. Ровно через 36 секунд после встречи их первых вагонов пассажир Вова, сидя в купе четвертого вагона, поравнялся с пассажиром встречного поезда Олегом, а еще через 44 секунды последние вагоны поездов полностью разъехались. В каком по счету вагоне ехал Олег?

По кругу стоят 12 детей. Мальчики всегда говорят правду мальчикам и врут девочкам, а девочки всегда говорят правду девочкам и врут мальчикам. Каждый из них сказал одну фразу своему соседу справа: "Ты – мальчик" или "Ты – девочка". Таких фраз оказалось поровну. Сколько мальчиков и сколько девочек стоит по кругу?

Покажите, как разрезать фигуру, изображённую на рисунке, на восемь равных частей пятью прямолинейными разрезами.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/64789/problem_64789_img_2.gif"></div>

Число  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64788/problem_64788_img_2.gif">  записали в виде несократимой дроби. Найдите её знаменатель.

Найдите наибольшее четырёхзначное число, которое делится на 7 и записывается четырьмя различными цифрами.

Петя записал на компьютере число 1. Каждую секунду компьютер прибавляет к числу на экране сумму его цифр.

Может ли через какое-то время на экране появиться число 123456789?

Толя выложил в ряд 101 монету достоинством 1, 2 и 3 копейки. Оказалось, что между каждыми двумя копеечными монетами лежит хотя бы одна монета, между каждыми двумя двухкопеечными монетами лежат хотя бы две монеты, а между каждыми двумя трёхкопеечными монетами лежат хотя бы три монеты. Сколько трёхкопеечных монет могло быть у Толи?

На равных сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно так, что  <i>AC = CM</i>  и  <i>MN = NB</i>.  Высота треугольника, проведенная из вершины <i>B</i>, пересекает отрезок <i>CM</i> в точке <i>H</i>. Докажите, что <i>NH</i> – биссектриса угла <i>MNC</i>.

На диске хранится 2013 файлов размером 1 Мб, 2 Мб, 3 Мб, ..., 2012 Мб, 2013 Мб. Можно ли их распределить по трём папкам так, чтобы в каждой папке было одинаковое количество файлов и все три папки имели один и тот же размер (в Мб)?

Можно ли расставить шесть фотографов на площади таким образом, чтобы каждый из них мог сфотографировать ровно четырёх других? (Фотографы <i>А</i> и <i>В</i> могут сфотографировать друг друга, если на отрезке <i>АВ</i> нет других фотографов.)

В квадрате <i>АВСD</i> со стороной 1 точка <i>F</i> – середина стороны <i>ВС, Е</i> – основание перпендикуляра, опущенного из вершины <i>А</i> на <i>DF</i>.

Найдите длину <i>ВЕ</i>.

Три математика ехали в разных вагонах одного поезда. Когда поезд подъезжал к станции, математики насчитали на перроне 7, 12 и 15 скамеек. А когда поезд отъезжал, один из математиков насчитал скамеек в три раза больше, чем другой. А сколько скамеек насчитал третий?

Найдутся ли такие три натуральных числа, что сумма каждых двух из них – степень тройки?

Полуокружность с диаметром <i>AD</i> касается катета <i>BC</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> в точке <i>М</i> (см. рисунок).

Докажите, что <i>AM </i>– биссектриса угла <i>BAC</i>.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/64561/problem_64561_img_2.gif"></div>

Для чисел <i>а, b</i> и <i>с</i> выполняется равенство  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64560/problem_64560_img_2.gif">.  Следует ли из него, что  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64560/problem_64560_img_3.gif">?

Может ли разность квадратов двух простых чисел быть квадратом натурального числа?

В классе 33 ученика, всем вместе 430 лет.

Докажите, что если выбрать 20 самых старших из них, то им вместе будет не меньше, чем 260 лет. (Возраст любого ученика – целое число.)

Верно ли, что  2⁶² + 1  делится на  2³¹ + 2¹⁶+ 1?

На острове 100 рыцарей и 100 лжецов. У каждого из них есть хотя бы один друг. Однажды ровно 100 человек сказали: "Все мои друзья – рыцари", и ровно 100 человек сказали: "Все мои друзья – лжецы". Каково наименьшее возможное количество пар друзей, один из которых рыцарь, а другой лжец?

По круговой дорожке стадиона длиной 400 метров из одной точки в одном направлении выбегают три спортсмена с постоянными скоростями 12 км/ч,

15 км/ч и 17 км/ч. Через какое наименьшее время спортсмены поравняются?