Олимпиадные задачи из источника «2010/11» для 2-8 класса - сложность 2-5 с решениями
Существуют ли пять таких двузначных составных чисел, что каждые два из них взаимно просты?
В треугольниках <i>АВС</i> и <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>: ∠<i>А</i> = ∠<i>А</i><sub>1</sub>, равны высоты, проведённые из вершин <i>В</i> и <i>В</i><sub>1</sub>, а также равны медианы, проведённые из вершин <i>С</i> и <i>С</i><sub>1</sub>. Обязательно ли эти треугольники равны?
Существуют ли такие целые числа <i>x, y</i> и <i>z</i>, для которых выполняется равенство: (<i>x – y</i>)³ + (<i>y – z</i>)³ + (<i>z – x</i>)³ = 2011?
Какое наибольшее количество точек самопересечения может иметь замкнутая ломаная, в которой 7 звеньев?
В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i>: ∠<i>ВАС</i> = 20°, ∠<i>ВСА</i> = 35°, ∠<i>ВDС</i> = 40°, ∠<i>ВDА</i> = 70°.
Найдите угол между диагоналями четырёхугольника.
Существует ли прямоугольный треугольник, в котором две медианы перпендикулярны?
Пятеро друзей скинулись на покупку. Могло ли оказаться так, что каждые два из них внесли менее одной трети общей стоимости?
Найдите наименьшее натуральное <i>n</i>, при котором число <i>А = n</i>³ + 12<i>n</i>² + 15<i>n</i> + 180 делится на 23.
В остроугольном треугольнике <i>АВС</i> угол <i>В</i> равен 45°, <i>АМ</i> и <i>CN</i> – высоты, <i>О</i> – центр описанной окружности, <i>Н</i> – ортоцентр.
Докажите, что <i>ОNHМ</i> – параллелограмм.
Известно, что 5(<i>а</i> – 1) = <i>b + a</i>². Сравните числа <i>а</i> и <i>b</i>.
В шахматном турнире участвовало 8 человек, и в итоге они набрали разное количество очков (каждый играл с каждым один раз, победа – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0). Шахматист, занявший второе место, набрал столько же очков, сколько четверо последних набрали вместе.
Как сыграли между собой шахматисты, занявшие третье и седьмое места?
Дан угол с вершиной <i>O</i> и окружность, касающаяся его сторон в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Луч с началом в точке <i>A</i>, параллельный <i>OB</i>, пересекает окружность в точке <i>C</i>. Отрезок <i>OC</i> пересекает окружность в точке <i>E</i>. Прямые <i>AE</i> и <i>OB</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Докажите, что <i>OK = KB</i>.
Сумма номеров домов на одной стороне квартала равна 247. Какой номер имеет седьмой дом от угла?
Существуют ли два многоугольника, у которых все вершины общие, но нет ни одной общей стороны?
Какое наибольшее число белых и чёрных фишек можно расставить на шахматной доске так, чтобы на каждой горизонтали и на каждой вертикали белых фишек было ровно в два раза больше, чем чёрных?
Целые числа <i>x, y</i> и <i>z</i> таковы, что (<i>x – y</i>)(<i>y – z</i>)(<i>z – x</i>) = <i>x + y + z</i>. Докажите, что число <i>x + y + z</i> делится на 27.
а) Для каждого трёхзначного числа берём произведение его цифр, а затем эти произведения, вычисленные для всех трёхзначных чисел, складываем. Сколько получится? б) Тот же вопрос для четырёхзначных чисел.