Отложим все векторыa₁,a₂, ...,a_nиз одной точкиO; проведём ещё черезOдве взаимно перпендикулярные прямыеxx₁иyy₁, направления которых отличны от направлений любого из векторов (рис. 40). Сумма длин проекций векторовa₁,a₂, ...,a_nна прямыеxx₁иyy₁будет больше 4 (ибо сумма длин проекций вектора на две взаимно перпендикулярные прямые не может быть меньше длины вектора и равна его длине лишь для вектора, направление которого совпадает с направлением одной из этих прямых). Поэтому хотя бы для одного из четырёх лучейOx,Ox₁,OyиOy₁сумма длин проекций на этот луч тех векторов, которые на него проектируются (т. е. тех векторов, направление проекций которых на соответствующую прямую совпадает именно с этим лучом, а не с противоположным) больше 1; пусть это будет, скажем, лучOx. Рассмотрим теперь отобранную таким путем группу векторов — некоторые из векторовa₁,a₂, ...,a_n, сумма длин проекций которых на лучOxбольше 1; так как проекция их суммы равна сумме длин их проекций (вот здесь используется то, что проекции на прямуюx₁xвсех этих векторов направлены в одну сторону!) и не больше длины суммы этих векторов, то длина суммы рассматриваемых векторов превосходит 1. Это и доказывает утверждение задачи.

Ответ задачи отсутствует