Задачи и олимпиады по математике

Задача

Внутри равностороннего (не обязательно правильного) семиугольникаA₁A₂...A₇взята произвольно точкаO. Обозначим черезH₁,H₂,...,H₇основания перпендикуляров, опущенных из точкиOна стороныA₁A₂,A₂A₃,...,A₇A₁соответственно. Известно, что точкиH₁,H₂,...,H₇лежат на самих сторонах, а не на их продолжениях. Доказать, чтоA₁H₁+A₂H₂+ ... +A₇H₇=H₁A₂+H₂A₃+ ... +H₇A₁.

Решение

Пусть без ограничения общности сторона семиугольника равна 1. Пусть x_i=A_iH_i , h_i=OH_i , будем считать A₈=A₁ , H₈=H₁ . По теореме Пифагора A_i+1H_i²+OH_i²=OA_i+1²=A_i+1H_i+1²+OH_i+1² , то есть1-2x_i+x_i²+h_i²=x_i+1²+h_i+1² . Складывая такие равенства для каждого i=1,..7, получаем7-2(x₁+..x₇)=0. Это как раз означает, что A₁H₁ + A₂H₂ + ... + A₇H₇ = H₁A₂ + H₂A₃ + ... + H₇A₁ .

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления