Олимпиадные задачи из источника «1964 год» - сложность 4 с решениями

При дворе короля Артура собрались 2<i>n</i>рыцарей, причём каждый из них имеет среди присутствующих не более  <i>n</i>– 1  врага. Доказать, что Мерлин, советник Артура, может так рассадить рыцарей за круглым столом, что ни один из них не будет сидеть рядом со своим врагом.

Пирог имеет форму правильного <i>n</i>-угольника, вписанного в окружность радиуса 1. Из середин сторон проведены прямолинейные надрезы длины 1. Доказать, что при этом от пирога будет отрезан какой-нибудь кусок.

Дан треугольник<i>ABC</i>, причём сторона<i>BC</i>равна полусумме двух других сторон. Доказать, что в таком треугольнике вершина<i>A</i>, середины сторон<i>AB</i>и<i>AC</i>и центры вписанной и описанной окружностей лежат на одной окружности (сравните с<a href="http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=78539">задачей 4 для 9 класса</a>).