Олимпиадные задачи из источника «1962 год» - сложность 3-5 с решениями

В шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым из остальных одну партию.

Доказать, что участников можно так занумеровать, что окажется, что ни один участник не проиграл непосредственно за ним следующему.

Как надо расположить в пространстве прямоугольный параллелепипед, чтобы площадь его проекции на горизонтальную плоскость была наибольшей?

На данной прямой<i>l</i>, проходящей через центр<i>O</i>данной окружности, фиксирована точка<i>C</i>(расположенная внутри окружности — прим. ред.). Точки<i>A</i>и<i>A'</i>расположены на окружности по одну сторону от<i>l</i>так, что углы, образованные прямыми<i>AC</i>и<i>A'C</i>с прямой<i>l</i>, равны. Обозначим через<i>B</i>точку пересечения прямых<i>AA'</i>и<i>l</i>. Доказать, что положение точки<i>B</i>не зависит от точки<i>A</i>.

Даны 2ⁿконечных последовательностей из нулей и единиц, причём ни одна из них не является началом никакой другой. Доказать, что сумма длин этих последовательностей не меньше<i>n</i>^.2ⁿ.

Стороны выпуклого многоугольника, периметр которого равен 12, отодвигаются на расстояние<i>d</i>= 1 во внешнюю сторону. Доказать, что площадь многоугольника увеличится по крайней мере на 15.

Как надо расположить числа  1, 2, ..., 2<i>n</i>  в последовательности  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>_2<i>n</i>,  чтобы сумма  |<i>a</i>₁ – <i>a</i>₂| + |<i>a</i>₂ – <i>a</i>₃| + ... + |<i>a</i>_{2<i>n</i>–1} – <i>a</i>_2<i>n</i>| + |<i>a</i>_2<i>n</i> – <i>a</i>₁|  была наибольшей?

Школьник в течение учебного года должен решать ровно по 25 задач за каждые идущие подряд 7 дней. Время, необходимое на решение одной задачи (любой), не меняется в течение дня, но меняется в течение учебного года по известному школьнику закону и всегда меньше 45 минут. Школьник хочет затратить на решение задач в общей сложности наименьшее время. Доказать, что для этого он может выбрать некоторый день недели и в этот день (каждую неделю) решать по 25 задач.

Две окружности<i>O</i>₁и<i>O</i>₂пересекаются в точках<i>M</i>и<i>P</i>. Обозначим через<i>MA</i>хорду окружности<i>O</i>₁, касающуюся окружности<i>O</i>₂в точке<i>M</i>, а через<i>MB</i>— хорду окружности<i>O</i>₂, касающуюся окружности<i>O</i>₁в точке<i>M</i>. На прямой<i>MP</i>отложен отрезок<i>PH</i>=<i>MP</i>. Доказать, что четырёхугольник<i>MAHB</i>можно вписать в окружность.

Из чисел<i>x</i>₁,<i>x</i>₂,<i>x</i>₃,<i>x</i>₄,<i>x</i>₅можно образовать десять попарных сумм; обозначим их через<i>a</i>₁,<i>a</i>₂, ...,<i>a</i>₁₀. Доказать, что зная числа<i>a</i>₁,<i>a</i>₂, ...,<i>a</i>₁₀(но не зная, разумеется, суммой каких именно двух чисел является каждое из них), можно восстановить числа<i>x</i>₁,<i>x</i>₂,<i>x...

Как надо расположить числа 1, 2, ..., 1962 в последовательности <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₁₉₆₂, чтобы сумма  |<i>a</i>₁ – <i>a</i>₂| + |<i>a</i>₂ – <i>a</i>₃| + ... + |<i>a</i>₁₉₆₁ – <i>a</i>₁₉₆₂| + |<i>a</i>₁₉₆₂ – <i>a</i>₁|  была наибольшей?

На плоскости даны 25 точек; известно, что из любых трёх точек можно выбрать две, расстояние между которыми меньше 1. Доказать, что среди данных точек найдутся 13, лежащие в круге радиуса 1.

<i>ABC</i> – равнобедренный треугольник;  <i>AB = BC,  BH</i> – высота, <i>M</i> – середина стороны <i>AB, K</i> – точка пересечения <i>BH</i> с описанной окружностью треугольника <i>BMC</i>. Доказать, что  <i>BK</i> = ³/₂ <i>R</i>,  где <i>R</i> – радиус описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

На сторонах квадрата, как на основаниях, построены во внешнюю сторону равные равнобедренные треугольники с острым углом при вершине. Доказать, что получившуюся фигуру нельзя разбить на параллелограммы.

Доказать, что в прямоугольнике площади 1 можно расположить непересекающиеся круги так, чтобы сумма их радиусов была равна 1962.

Дана система уравнений:

    <img width="20" height="111" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78282/problem_78282_img_2.gif"><img width="247" height="111" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78282/problem_78282_img_3.gif">

Какие значения может принимать <i>x</i>₂₅?

Даны два пересекающихся отрезка<i>AС</i>и<i>BD</i>. На этих лучах выбираются точки<i>M</i>и<i>N</i>(соответственно) так, что<i>AM</i>=<i>BN</i>. Найти положение точек<i>M</i>и<i>N</i>, при котором длина отрезка<i>MN</i>минимальна (сравните с<a href="http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=78284">задачей 1 для 10 класса</a>).

На сторонах<i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CA</i>правильного треугольника<i>ABC</i>найти такие точки<i>X</i>,<i>Y</i>,<i>Z</i>(соответственно), чтобы площадь треугольника, образованного прямыми<i>CX</i>,<i>BZ</i>,<i>AY</i>, была вчетверо меньше площади треугольника<i>ABC</i>и чтобы было выполнено условие: $$\frac{AX}{XB}=\frac{BY}{YC}=\frac{CZ}{ZA}.$$