Задача
Доказать, что в прямоугольнике площади 1 можно расположить непересекающиеся круги так, чтобы сумма их радиусов была равна 1962.
Решение
Разобьём меньшую сторону прямоугольника на большое числоnравных отрезков малой длины$\alpha$. Большую сторону также разобьём наmотрезков длины$\alpha$; при этом мы можем получить остаток, который, во всяком случае, меньше$\alpha$. Затем весь прямоугольник разобьём наmn квадратов со стороной$\alpha$и (быть может) ещё один вытянутый прямоугольник, одна сторона которого не превосходит 1 (она равна той стороне исходного прямоугольника, которая не больше другой), а вторая меньше$\alpha$(рис. 82). Так как площадь прямоугольника равна 1, то
mn . $\displaystyle \alpha^{2}_{}$ + 1 . $\displaystyle \alpha$ > 1, т. е. mn > $\displaystyle {\frac{1-\alpha}{\alpha^2}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{\alpha^2}}$ - $\displaystyle {\frac{1}{\alpha}}$.
Впишем теперь в каждый из квадратов со стороной$\alpha$окружность радиуса$\alpha$/2; тогда сумма радиусов всех этих окружностей будет равна
mn . $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ > $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{\alpha^2}-\frac{1}{\alpha}}\right.$$\displaystyle {\frac{1}{\alpha^2}}$ - $\displaystyle {\frac{1}{\alpha}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{\alpha^2}-\frac{1}{\alpha}}\right)$ . $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{2\alpha}}$ - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$.
Выбрав$\alpha$достаточно малым, мы сможем добиться того, чтобы эта сумма
былабольше любого наперед заданного числа, например больше 1962.
Уменьшив затем радиусы окружностей до величины${\frac{1962}{mn}}$, мы получим
внутри прямоугольникаmn непересекающихся окружностей, сумма радиусов
которых точно равна 1962.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет