Задача
На сторонахAB,BC,CAправильного треугольникаABCнайти такие точкиX,Y,Z(соответственно), чтобы площадь треугольника, образованного прямымиCX,BZ,AY, была вчетверо меньше площади треугольникаABCи чтобы было выполнено условие: $$\frac{AX}{XB}=\frac{BY}{YC}=\frac{CZ}{ZA}.$$
Решение
Обозначим через x=AX/XB=BY/YC=CZ/ZA . Можно считать, что 0 < x < 1 и S(ABC)=1. Пусть A1B1C1 – треугольник, образованный прямыми CX, AY и BZ , причем A1 – вершина, ближайшая к A , B1 – к B , C1 – к C . Расположим в вершинах A, B иСмассы x2, 1 иxсоответственно. ТогдаB1– центр масс этой системы, откуда S(ABB1)=x/(1+x+x2). Тогда S(A1B1C1)=1-3S(ABB1)=1-3x/(1+x+x2). Используя равенство S(A1B1C1)=1/4, получаем квадратное уравнение на x . Решая его и выбирая корень из промежутка от 0 до 1, получаем ответ.
Ответ
точки X, Y, Z должны делить соответствующие стороны в отношении $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь