Олимпиадные задачи из источника «7 класс, 2 тур»

На плоскости даны 25 точек; известно, что из любых трёх точек можно выбрать две, расстояние между которыми меньше 1. Доказать, что среди данных точек найдутся 13, лежащие в круге радиуса 1.

Дано число 100...01; число нулей в нём равно 1961. Докажите, что это число – составное.

"Уголком" называется фигура, составленная из трёх квадратов со стороной 1 в виде буквы "Г".

Доказать, что прямоугольник размерами 1961×1963 нельзя разбить на уголки, а прямоугольник размерами 1963×1965 – можно.

<i>ABC</i> – равнобедренный треугольник;  <i>AB = BC,  BH</i> – высота, <i>M</i> – середина стороны <i>AB, K</i> – точка пересечения <i>BH</i> с описанной окружностью треугольника <i>BMC</i>. Доказать, что  <i>BK</i> = ³/₂ <i>R</i>,  где <i>R</i> – радиус описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

У края биллиарда, имеющего форму правильного 2<i>n</i>-угольника, стоит шар. Как надо пустить шар от борта, чтобы он, отразившись последовательно от всех бортов, вернулся в ту же точку? (При отражении углы падения и отражения равны.) Доказать, что при этом длина пути шара не зависит от выбора начальной точки.