Олимпиадные задачи из источника «1962 год» для 2-9 класса

В шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым из остальных одну партию.

Доказать, что участников можно так занумеровать, что окажется, что ни один участник не проиграл непосредственно за ним следующему.

Стороны выпуклого многоугольника, периметр которого равен 12, отодвигаются на расстояние<i>d</i>= 1 во внешнюю сторону. Доказать, что площадь многоугольника увеличится по крайней мере на 15.

Две окружности<i>O</i>₁и<i>O</i>₂пересекаются в точках<i>M</i>и<i>P</i>. Обозначим через<i>MA</i>хорду окружности<i>O</i>₁, касающуюся окружности<i>O</i>₂в точке<i>M</i>, а через<i>MB</i>— хорду окружности<i>O</i>₂, касающуюся окружности<i>O</i>₁в точке<i>M</i>. На прямой<i>MP</i>отложен отрезок<i>PH</i>=<i>MP</i>. Доказать, что четырёхугольник<i>MAHB</i>можно вписать в окружность.

Из чисел<i>x</i>₁,<i>x</i>₂,<i>x</i>₃,<i>x</i>₄,<i>x</i>₅можно образовать десять попарных сумм; обозначим их через<i>a</i>₁,<i>a</i>₂, ...,<i>a</i>₁₀. Доказать, что зная числа<i>a</i>₁,<i>a</i>₂, ...,<i>a</i>₁₀(но не зная, разумеется, суммой каких именно двух чисел является каждое из них), можно восстановить числа<i>x</i>₁,<i>x</i>₂,<i>x...

В окружность вписан неправильный <i>n</i>-угольник, который при повороте окружности около центра на некоторый угол  α ≠ 2π   совмещается сам с собой. Доказать, что <i>n</i> – число составное.

Как надо расположить числа 1, 2, ..., 1962 в последовательности <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₁₉₆₂, чтобы сумма  |<i>a</i>₁ – <i>a</i>₂| + |<i>a</i>₂ – <i>a</i>₃| + ... + |<i>a</i>₁₉₆₁ – <i>a</i>₁₉₆₂| + |<i>a</i>₁₉₆₂ – <i>a</i>₁|  была наибольшей?

Проведём в выпуклом многоугольнике некоторые диагонали так, что никакие две из них не пересекаются (из одной вершины могут выходить несколько диагоналей). Доказать, что найдутся по крайней мере две вершины многоугольника, из которых не проведено ни одной диагонали.

На плоскости даны 25 точек; известно, что из любых трёх точек можно выбрать две, расстояние между которыми меньше 1. Доказать, что среди данных точек найдутся 13, лежащие в круге радиуса 1.

Дано число 100...01; число нулей в нём равно 1961. Докажите, что это число – составное.

"Уголком" называется фигура, составленная из трёх квадратов со стороной 1 в виде буквы "Г".

Доказать, что прямоугольник размерами 1961×1963 нельзя разбить на уголки, а прямоугольник размерами 1963×1965 – можно.

<i>ABC</i> – равнобедренный треугольник;  <i>AB = BC,  BH</i> – высота, <i>M</i> – середина стороны <i>AB, K</i> – точка пересечения <i>BH</i> с описанной окружностью треугольника <i>BMC</i>. Доказать, что  <i>BK</i> = ³/₂ <i>R</i>,  где <i>R</i> – радиус описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

У края биллиарда, имеющего форму правильного 2<i>n</i>-угольника, стоит шар. Как надо пустить шар от борта, чтобы он, отразившись последовательно от всех бортов, вернулся в ту же точку? (При отражении углы падения и отражения равны.) Доказать, что при этом длина пути шара не зависит от выбора начальной точки.

Доказать, что любое натуральное число можно представить в виде суммы нескольких различных членов последовательности 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...,<i>a</i>_n=<i>a</i>_{n - 1}+<i>a</i>_{n - 2},....

Даны два пересекающихся луча<i>AС</i>и<i>BD</i>. На этих лучах выбираются точки<i>M</i>и<i>N</i>(соответственно) так, что<i>AM</i>=<i>BN</i>. Найти положение точек<i>M</i>и<i>N</i>, при котором длина отрезка<i>MN</i>минимальна.

Дана система уравнений:

    <img width="20" height="111" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78282/problem_78282_img_2.gif"><img width="247" height="111" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78282/problem_78282_img_3.gif">

Какие значения может принимать <i>x</i>₂₅?

Даны два пересекающихся отрезка<i>AС</i>и<i>BD</i>. На этих лучах выбираются точки<i>M</i>и<i>N</i>(соответственно) так, что<i>AM</i>=<i>BN</i>. Найти положение точек<i>M</i>и<i>N</i>, при котором длина отрезка<i>MN</i>минимальна (сравните с<a href="http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=78284">задачей 1 для 10 класса</a>).

Доказать, что для любого целого<i>d</i>найдутся такие целые<i>m</i>,<i>n</i>, что<div align="CENTER"> <i>d</i> = $\displaystyle {\frac{n-2m+1}{m^2-n}}$. </div>

На сторонах<i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CA</i>правильного треугольника<i>ABC</i>найти такие точки<i>X</i>,<i>Y</i>,<i>Z</i>(соответственно), чтобы площадь треугольника, образованного прямыми<i>CX</i>,<i>BZ</i>,<i>AY</i>, была вчетверо меньше площади треугольника<i>ABC</i>и чтобы было выполнено условие: $$\frac{AX}{XB}=\frac{BY}{YC}=\frac{CZ}{ZA}.$$

Даны<i>n</i>карточек; на обеих сторонах каждой карточки написано по одному из чисел1, 2,...,<i>n</i>, причём так, что каждое число встречается на всех<i>n</i>карточках ровно два раза. Доказать, что карточки можно разложить на столе так, что сверху окажутся все числа:1, 2,...,<i>n</i>.

Сумму цифр числа <i>a</i> обозначим через <i>S</i>(<i>a</i>). Доказать, что если  <i>S</i>(<i>a</i>) = <i>S</i>(2<i>a</i>),  то число <i>a</i> делится на 9.

Правильный треугольник, одна сторона которого отмечена, отражается симметрично относительно одной из своих сторон. Полученный треугольник в свою очередь отражается и т.д., пока на некотором шаге треугольник не придёт в первоначальное положение. Доказать, что при этом отмеченная сторона также займёт исходное положение.

Дана прямая<i>l</i>, перпендикулярная отрезку<i>AB</i>и пересекающая его. Для любой точки<i>M</i>прямой<i>l</i>строится такая точка<i>N</i>, что$\angle$<i>NAB</i>= 2$\angle$<i>MAB</i>;$\angle$<i>NBA</i>= 2$\angle$<i>MBA</i>. Доказать, что абсолютная величина разности<i>AN</i>-<i>BN</i>не зависит от выбора точки<i>M</i>на прямой<i>l</i>.